В амфитеатре 11 рядов, В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

**Решение:** Пусть количество мест в первом ряду равно \( x \). Согласно условию задачи: - В первом ряду 17 мест, то есть \( x = 17 \). - В каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем, поэтому во втором ряду будет \( x + 3 \) мест, в третьем - \( x + 6 \) мест и так далее. Мы можем заметить, что количество мест в ряде можно выразить через номер этого ряда. Таким образом, в \( n \)-ом ряду будет \( 17 + 3(n-1) \) мест. Чтобы найти общее количество мест в амфитеатре, нужно сложить все места в каждом из 11 рядов: \[ \text{Всего мест} = 17 + (17+3) + (17+6) + \ldots + (17+3(11-1)) \] У нас есть арифметическая прогрессия. Формула суммы \( n \) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом: \[ S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right) \] Где: - \( S_n \) - сумма \( n \) членов, - \( a \) - первый член, - \( d \) - разность между членами, - \( n \) - количество членов. В нашем случае: - \( a = 17 \) (первый член), - \( d = 3 \) (разность между членами), - \( n = 11 \) (общее количество рядов). Подставляя значения в формулу, мы получаем: \[ S_{11} = \frac{11}{2}\left(2\cdot17 + (11-1)\cdot3\right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2}\left( 34 + 10\cdot3 \right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2}\left( 34 + 30 \right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2}\cdot 64 \] \[ S_{11} = 11 \cdot 32 \] \[ S_{11} = 352 \] Итак, всего мест в амфитеатре \(352\).