В амфитеатре 11 рядов, В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Пусть количество мест в первом ряду равно \( x \).

Согласно условию задачи:

• В первом ряду 17 мест, то есть \( x = 17 \).
• В каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем, поэтому во втором ряду будет \( x + 3 \) мест, в третьем - \( x + 6 \) мест и так далее.

Мы можем заметить, что количество мест в ряде можно выразить через номер этого ряда. Таким образом, в \( n \)-ом ряду будет \( 17 + 3(n-1) \) мест.

Чтобы найти общее количество мест в амфитеатре, нужно сложить все места в каждом из 11 рядов: \[ \text{Всего мест} = 17 + (17+3) + (17+6) + \ldots + (17+3(11-1)) \]

У нас есть арифметическая прогрессия. Формула суммы \( n \) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом: \[ S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right) \]

Где:

• \( S_n \) - сумма \( n \) членов,
• \( a \) - первый член,
• \( d \) - разность между членами,
• \( n \) - количество членов.

В нашем случае:

• \( a = 17 \) (первый член),
• \( d = 3 \) (разность между членами),
• \( n = 11 \) (общее количество рядов).

Подставляя значения в формулу, мы получаем: \[ S_{11} = \frac{11}{2}\left(2\cdot17 + (11-1)\cdot3\right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2}\left( 34 + 10\cdot3 \right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2}\left( 34 + 30 \right) \] \[ S_{11} = \frac{11}{2}\cdot 64 \] \[ S_{11} = 11 \cdot 32 \] \[ S_{11} = 352 \]

Итак, всего мест в амфитеатре \(352\).