По представленным суждениям можно сделать следующие выводы:
Победа князя Дмитрия Ивановича над Мамаем окончательно избавила русские земли от необходимости выплачивать Орде дань:
- Верное утверждение. После победы в Куликовской битве в 1380 году, русские княжества прекратили выплату даней Золотой Орде, что стало значительным вехой в истории Руси.
После поражения в Куликовской битве Дмитрий Донской принял постриг и ушёл в монастырь:
- Неверное утверждение. Дмитрий Донской продолжил свою правящую деятельность после победы в Куликовской битве, став великим князем Московским.
Сергий Радонежский лично возглавил отряд монахов в битве на реке Воже, что обеспечило победу русских ратей:
- Неверное утверждение. Сергий Радонежский, как правило, не участвовал активно в боевых действиях, его деятельность была связана скорее с духовной поддержкой и моральным влиянием на войска.
Накануне Куликовской битвы князь Дмитрий Иванович посетил Троице-Сергиев монастырь и получил благословение от Сергия Радонежского на борьбу с Ордой:
- Верное утверждение. Сергий Радонежский действительно оказывал поддержку князю Дмитрию перед битвой, за что получил благодарность от князя.
Митрополит Алексий стал фактически правителем при 9-летнем Дмитрии в 1359 году и продолжил политику Ивана Калиты:
- Верное утверждение. Митрополит Алексий был влиятельным духовным деятелем и политиком в период правления Дмитрия Донского (Дмитрий Ивановича), участвовал в правлении и продолжил политику своего предшественника Ивана Калиты.
Итак, согласно анализу представленных суждений, первое и последнее утверждения верны, а второе, третье и четвертое неверны.