Решите неравенство

Для решения данного неравенства \(\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \geq 0\), следуем следующим шагам: 1. **Упростим выражение в знаменателе:** \[ (x-3)^2 - 5 \] Раскроем скобки: \[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] Подставим это в знаменатель: \[ x^2 - 6x + 9 - 5 = x^2 - 6x + 4 \] Таким образом, неравенство становится: \[ \frac{-10}{x^2 - 6x + 4} \geq 0 \] 2. **Определим, где функция \(\frac{-10}{x^2 - 6x + 4}\) не определена:** Это происходит, когда знаменатель равен нулю: \[ x^2 - 6x + 4 = 0 \] Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\). Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \] Значит, функция не определена в точках \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(x = 3 - \sqrt{5}\). 3. **Определим знаки выражения:** Нам нужно определить знак выражения в интервалах, разделённых точками, где функция не определена: - \((-\infty, 3-\sqrt{5})\) - \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5})\) - \((3+\sqrt{5}, +\infty)\) Выберем тестовые точки: - На интервале \((-\infty, 3-\sqrt{5})\) возьмём \(x = 0\): \[ x^2 - 6x + 4 = 0^2 - 6 \times 0 + 4 = 4 > 0 \Rightarrow \frac{-10}{4} < 0 \] - На интервале \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5})\) возьмём \(x = 3\): \[ x^2 - 6x + 4 = 9 - 18 + 4 = -5 < 0 \Rightarrow \frac{-10}{-5} > 0 \] - На интервале \((3+\sqrt{5}, +\infty)\) возьмём \(x = 4\): \[ x^2 - 6x + 4 = 16 - 24 + 4 = -4 < 0 \Rightarrow \frac{-10}{-4} > 0 \] 4. **Заключение:** Неравенство \(\frac{-10}{x^2 - 6x + 4} \geq 0\) выполняется на интервалах \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5}) \cup (3+\sqrt{5}, +\infty)\). Ответ: \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5}) \cup (3+\sqrt{5}, +\infty)\).