решите неравенство
Для решения данного неравенства \(\frac{-10}{(x-3)^2 - 5} \geq 0\), следуем следующим шагам:
Упростим выражение в знаменателе:
\[ (x-3)^2 - 5 \]
Раскроем скобки:
\[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]
Подставим это в знаменатель:
\[ x^2 - 6x + 9 - 5 = x^2 - 6x + 4 \]
Таким образом, неравенство становится:
\[ \frac{-10}{x^2 - 6x + 4} \geq 0 \]
Определим, где функция \(\frac{-10}{x^2 - 6x + 4}\) не определена:
Это происходит, когда знаменатель равен нулю:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\).
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]
Значит, функция не определена в точках \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(x = 3 - \sqrt{5}\).
Определим знаки выражения:
Нам нужно определить знак выражения в интервалах, разделённых точками, где функция не определена:
- \((-\infty, 3-\sqrt{5})\)
- \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5})\)
- \((3+\sqrt{5}, +\infty)\)
Выберем тестовые точки:
На интервале \((-\infty, 3-\sqrt{5})\) возьмём \(x = 0\):
\[ x^2 - 6x + 4 = 0^2 - 6 \times 0 + 4 = 4 > 0 \Rightarrow \frac{-10}{4} < 0 \]
На интервале \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5})\) возьмём \(x = 3\):
\[ x^2 - 6x + 4 = 9 - 18 + 4 = -5 < 0 \Rightarrow \frac{-10}{-5} > 0 \]
На интервале \((3+\sqrt{5}, +\infty)\) возьмём \(x = 4\):
\[ x^2 - 6x + 4 = 16 - 24 + 4 = -4 < 0 \Rightarrow \frac{-10}{-4} > 0 \]
Заключение:
Неравенство \(\frac{-10}{x^2 - 6x + 4} \geq 0\) выполняется на интервалах \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5}) \cup (3+\sqrt{5}, +\infty)\).
Ответ: \((3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5}) \cup (3+\sqrt{5}, +\infty)\).
