В угол С величиной 83° вписана окружность с центром О, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

**Решение:** Дано: угол величиной 83° в углу C, вписанная окружность с центром O, касающаяся сторон угла в точках A и B. Посмотрим на структуру угла C. Так как окружность с центром O касается сторон угла в точках A и B, то лучи AO и BO являются радиусами окружности, и они встречаются в точке O под прямым углом. Таким образом, угол АОВ является прямым углом. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180°, можно заметить, что угол AOC и угол BOC равны между собой, так как они образуются радиусами окружности, а угол АПС и угол ВРС также равны между собой и равными углами АОВ. Следовательно, угол АОВ составляет половину угла C, то есть $\frac{83}{2} = 41.5$ градусов. **Ответ:** Угол $AOV = 41.5$ градусов.