.
Привет! Нам нужно найти первообразные для функций, которые даны на картинке. Пошагово разберём, как это делается. Для удобства, обозначу функции (1), (2), (3) и так далее, как они идут сверху вниз, слева направо.
\( \int x^{2}dx \) - чтобы найти первообразную степенной функции, увеличим показатель степени на единицу и поделим на этот новый показатель. Получаем \(\frac{x^{3}}{3} + C\).
\( \int \frac{1}{x}dx \) - первообразная функции \( \frac{1}{x} \) это \( \ln |x| + C \).
\( \int \frac{1}{x^{3}}dx \) - здесь используем тот же метод, что и в первом пункте: увеличиваем степень на единицу и делим на новую степень, получаем \( -\frac{1}{2x^{2}} + C \).
\( \int (\sqrt{x}-5)dx \) - разделим на два интеграла: \( \int \sqrt{x}dx - \int 5dx \). Первая часть даст нам \( \frac{2}{3}x^{3/2} \), а вторая часть \( -5x \). Итак, первообразная будет \( \frac{2}{3}x^{3/2} - 5x + C \).
\( \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx \) - интегрируем как степенную функцию \( x^{-1/2} \) и получаем \( 2\sqrt{x} + C \).
\( \int e^{x}dx \) - первообразная от \( e^{x} \) равна ( e^{x
