1. Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? Ответ объясните.

Цель: Понять

Решение:

1. Для решения этой задачи стоит рассмотреть вероятности событий А и В.
2. Событие А: "решка выпала более двух раз". Это означает, что решка выпала либо 3 раза, либо 4 раза, либо 5 раз. Эту вероятность обозначим как \( P(A) \).
3. Событие В: "орёл выпал более трёх раз". Это означает, что орёл выпал либо 4 раза, либо 5 раз. Эту вероятность обозначим как \( P(B) \).
4. Для решения задачи нам нужно проверить, являются ли события А и В противоположными. Для этого необходимо проверить, выполняется ли равенство \( P(A) + P(B) = 1 \).
5. Рассмотрим вероятности событий A и B подробнее:
   • Событие A:
     • Вероятность, что решка выпадет 3 раза из 5: \( \binom{5}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{10}{32} \)
     • Вероятность, что решка выпадет 4 раза из 5: \( \binom{5}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^1 = \frac{5}{32} \)
     • Вероятность, что решка выпадет 5 раз из 5: \( \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{1}{32} \)
     • Следовательно, \( P(A) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \)
   • Событие B:
     • Вероятность, что орёл выпадет 4 раза из 5: \( \binom{5}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^1 = \frac{5}{32} \)
     • Вероятность, что орёл выпадет 5 раз из 5: \( \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{1}{32} \)
     • Следовательно, \( P(B) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} \)
6. Теперь проверим, выполняется ли равенство \( P(A) + P(B) = 1 \):
   • \( \frac{1}{2} + \frac{6}{32} = \frac{16}{32} + \frac{6}{32} = \frac{22}{32} \neq 1 \)
7. Следовательно, события A и B не являются противоположными, так как их сумма вероятностей не равна 1.
8. Таким образом, мы понимаем, что события A и B не являются противоположными, и это объясняет отсутствие равенства вероятностей 1.

Таким образом, противоположными события A "решка выпала более двух раз" и B "орёл выпал более трёх раз" не являются, так как их вероятности не суммируются к 1.