Дано уравнение: ((\frac{1}{4})^x \times (\frac{2}{3})^x = \frac{16}{81}).
Для решения данного уравнения используем свойство степени с одинаковым основанием:
((\frac{1}{4} \times \frac{2}{3})^x = \frac{16}{81}).
Упрощаем дроби в скобках: ((\frac{1}{6})^x = \frac{16}{81}).
Теперь приводим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения к общему основанию:
(\frac{16}{81} = \frac{16}{3^4} = (\frac{2}{3})^4).
Заменяем правую часть уравнения на дробь с основанием (\frac{2}{3}): ((\frac{1}{6})^x = (\frac{2}{3})^4).
Таким образом, у нас получается:
((\frac{1}{6})^x = (\frac{2}{3})^4).
Сравниваем основания дробей и видим, что (\frac{1}{6} = (\frac{2}{3})^2), что значит:
((\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^4).
Согласно свойству степени произведения, выполняем умножение слагаемых с одинаковым основанием:
((\frac{2}{3})^{2+x} = (\frac{2}{3})^4).
Сравниваем степени с обеих сторон уравнения и получаем:
(2 + x = 4).
Отсюда находим значение (x):
(x = 4 - 2),
(x = 2).
Таким образом, значение (x) равно 2.
