Для функции f(x) = 4x³ + 4x найдите первоначальную f, один из нулей которого равен 3

Привет! Давай посмотрим, что у тебя за задача.

Ты просишь найти первообразную функции \( f(x) = 4x^3 + 4x \), у которой один из корней равен 3. Однако на картинке задание другое — там даны разные функции и нужно найти их первообразные. Но раз уж ты спросил про конкретную функцию \( f(x) \), решим твою задачу.

Чтобы найти первообразную для функции \( f(x) = 4x^3 + 4x \), добавим переменную \( C \), которая обозначает константу интегрирования после нахождения первообразной.

Теперь найдем первообразную данной функции. Правило интегрирования многочлена гласит, что для любого члена вида \( ax^n \) первообразной будет функция вида \( \frac{a}{n+1}x^{n+1} \). Итак, действуем по правилу:

\[ \int f(x)dx = \int (4x^3 + 4x)dx = \int 4x^3dx + \int 4xdx \]

\[ = 4 \int x^3dx + 4 \int xdx \]

\[ = 4 \cdot \frac{1}{4}x^{3+1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1+1} + C \]

\[ = x^4 + 2x^2 + C \]

Теперь нам нужно определить значение константы \( C \), так как известно, что один из нулей первообразной равен 3. Это значит, что при \( x = 3 \) функция обращается в ноль:

[ F(3) = 3^4 + 2 \cdot 3