На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2021…
На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2021 и записать полученную сумму, при этом стереть предыдущее число. Играет один человек и указанные действия в любом порядке можно выполнять неограниченное число раз. Получится ли при каком-нибудь исходе увидеть на доске число 3? (В ответе запиши да или нет.)
Давайте рассмотрим данную игру.
Пусть исходное число, написанное на доске, будем обозначать как \( x \).
Если мы стерем последнюю цифру \( x \), то останется число \( \left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor \) (где \( \lfloor \cdot \rfloor \) - означает взятие целой части).
Если мы прибавим к числу \( x \) 2021, то получим число \( x + 2021 \).
Давайте посмотрим на возможные преобразования и их влияние на последнюю цифру:
\( x \rightarrow \left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor \):
- Если последняя цифра числа \( x \) - 0, то последняя цифра числа \( \left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor \) также будет 0.
- Если последняя цифра числа \( x \) - 1, то последняя цифра числа \( \left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor \) также будет 0.
- И так далее, заканчивая 9, где последняя цифра числа \( \left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor \) будет 0.
\( x \rightarrow x + 2021 \):
- Прибавление 2021 к числу не изменяет последнюю цифру.
Итак, после каждого преобразования число на доске будет оканчиваться нулём. Сложение 2021 также не изменит последнюю цифру числа, и, соответственно, не приведет к числу 3.
Таким образом, ни при каком исходе невозможно увидеть на доске число 3.
Ответ: Нет.
