Решить

Давайте решим уравнение: \[ \frac{4}{x - 2} - \frac{x^2 - 7x + 7}{x^2 - x - 2} = \frac{5}{x + 1} \] Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель. Разложим знаменатели на множители: - \(x - 2\) остаётся без изменений. - Разложим \(x^2 - x - 2\): \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] - \(x + 1\) остаётся без изменений. Общий знаменатель будет \((x - 2)(x + 1)\). Перепишем уравнение с общим знаменателем: \[ \frac{4(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{x^2 - 7x + 7}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{5(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \] Теперь у нас уравнение с одинаковыми знаменателями. Мы можем избавиться от знаменателя и приравнять только числители: \[ 4(x + 1) - (x^2 - 7x + 7) = 5(x - 2) \] Раскроем скобки и упростим: 1. Раскроем скобки: \[ 4x + 4 - x^2 + 7x - 7 = 5x - 10 \] 2. Соберем все члены влево: \[ -x^2 + 4x + 7x + 4 - 7 - 5x + 10 = 0 \] 3. Упростим: \[ -x^2 + 6x + 7 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение: \(-x^2 + 6x + 7 = 0\) Или: \(x^2 - 6x - 7 = 0\) Найдем корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -7\). \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 8}{2} \] Значит, \(x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7\) и \(x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1\). Проверим область допустимых значений (ОДЗ): - \(x \neq 2\), чтобы знаменатель не стал нулем. - \(x \neq -1\), чтобы знаменатель не стал нулем. Значит, допустимый корень — \(x = 7\). Ответ: 7.