Решить

Давайте решим уравнение:

\[ \frac{4}{x - 2} - \frac{x^2 - 7x + 7}{x^2 - x - 2} = \frac{5}{x + 1} \]

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель. Разложим знаменатели на множители:

• \(x - 2\) остаётся без изменений.

• Разложим \(x^2 - x - 2\):

  \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

• \(x + 1\) остаётся без изменений.

Общий знаменатель будет \((x - 2)(x + 1)\).

Перепишем уравнение с общим знаменателем:

\[ \frac{4(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{x^2 - 7x + 7}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{5(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \]

Теперь у нас уравнение с одинаковыми знаменателями. Мы можем избавиться от знаменателя и приравнять только числители:

\[ 4(x + 1) - (x^2 - 7x + 7) = 5(x - 2) \]

Раскроем скобки и упростим:

1. Раскроем скобки:

   \[ 4x + 4 - x^2 + 7x - 7 = 5x - 10 \]

2. Соберем все члены влево:

   \[ -x^2 + 4x + 7x + 4 - 7 - 5x + 10 = 0 \]

3. Упростим:

   \[ -x^2 + 6x + 7 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\(-x^2 + 6x + 7 = 0\)

Или:

\(x^2 - 6x - 7 = 0\)

Найдем корни по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -7\).

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} \]

\[ x = \frac{6 \pm 8}{2} \]

Значит, \(x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7\) и \(x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1\).

Проверим область допустимых значений (ОДЗ):

• \(x \neq 2\), чтобы знаменатель не стал нулем.
• \(x \neq -1\), чтобы знаменатель не стал нулем.

Значит, допустимый корень — \(x = 7\).

Ответ: 7.