Решить системы неравенств: #### **a)** \[ \begin{cases} x - \frac{x-1}{2} > 1, \\ \frac{x}{3} < 5. \end{cases} \] #### **b)** \[ \begin{cases} 2x - \frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3},…

a) Решение системы неравенств:

1. Начнем с первого неравенства:
   \[ x - \frac{x-1}{2} > 1 \]

2. Упростим его, избавившись от дроби:
   \[ x - \frac{x-1}{2} = x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2x - x + 1}{2} = \frac{x + 1}{2} \]
   Имеем:
   \[ \frac{x+1}{2} > 1 \]

3. Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
   \[ x + 1 > 2 \]
   \[ x > 1 \]

4. Теперь переходим ко второму неравенству:
   \[ \frac{x}{3} < 5 \]

5. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
   \[ x < 15 \]

6. Итак, мы получили решение первой системы неравенств:
   \[ x > 1 \] и \( x < 15 \)
   Таким образом, решение системы:
   \[ 1 < x < 15 \]

b) Решение системы неравенств:

1. Начнем с первого неравенства:
   \[ 2x - \frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3} \]

2. Упростим его, избавившись от дроби:
   \[ 2x - \frac{3x-1}{2} = 2x - \frac{3x}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4x - 3x + 1}{2} = \frac{x + 1}{2} \]
   Имеем:
   \[ \frac{x+1}{2} > \frac{2}{3} \]

3. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
   \[ x + 1 > \frac{4}{3} \]
   \[ x > \frac{1}{3} \]

4. Переходим ко второму неравенству:
   \[ 10x - 2 > 1 + 4x \]

5. Переносим все x на одну сторону:
   \[ 10x - 4x > 1 + 2 + 4 \]
   \[ 6x > 7 \]
   \[ x > \frac{7}{6} \]

6. Итак, мы получаем решение второй системы неравенств:
   \[ x > \frac{7}{6} \]

c) Решение системы неравенств:

1. Рассмотрим первое неравенство:
   \[ 5a + 8 - a \geq 2a \]
   \[ 4a + 8 \geq 2a \]
   \[ 2a + 8 \geq 0 \]
   \[ 2a \geq -8 \]
   \[ a \geq -4 \]

2. Перейдем ко второму неравенству:
   \[ 1 - \frac{6 - 15a}{4} \geq a \]
   \[ 1 - (\frac{6}{4} - \frac{15a}{4}) \geq a \]
   \[ 1 - \frac{3}{2} + \frac{15a}{4} \geq a \]
   \[ -\frac{1}{2} + \frac{15a}{4} \geq a \]
   \[ \frac{15a}{4} \geq a + \frac{1}{2} \]
   \[ 15a \geq 4a + 2 \]
   \[ 11a \geq 2 \]
   \[ a \geq \frac{2}{11} \]

3. Итак, решение третьей системы неравенств:
   \[ a \geq -4 \] и \( a \geq \frac{2}{11} \)
   Таким образом, решением будет:
   \[ a \geq \frac{2}{11} \]