решение

Давайте рассмотрим решение задачи №1078 о наличии решений у систем уравнений.

1. Система уравнений

а)

\[ \begin{cases} 4y - x = 12, \\ 3y - 1.5x = 9 \end{cases} \]

Шаг 1: Упростим второе уравнение

Вместо \(3y - 1.5x = 9\) напишем:

\[ 6y - 3x = 18 \]

Шаг 2: Приведем первое уравнение к схожему виду

Умножим первое уравнение на 2:

\[ 8y - 2x = 24 \]

Шаг 3: Сравним коэффиценты

Теперь система:

\[ \begin{cases} 8y - 2x = 24, \\ 6y - 3x = 18 \end{cases} \]

Уравнения пропорциональны, что говорит о том, что они могут представлять одну и ту же прямую. Тем не менее, они не идентичны, так как коэффициенты перед \(y\) и \(x\) не находятся в одинаковой пропорции для одинаковых свободных членов. Система будет иметь бесконечно много решений, если она представляет одну и ту же прямую, но в данном случае это не так.

Заключение: Система имеет одно решение.

2. Система уравнений

b)

\[ \begin{cases} 1.5x - y = 1, \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} \]

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Вместо \(1.5x - y = 1\) напишем:

\[ 3x - 2y = 2 \]

Шаг 2: Сравним

Теперь система:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 2, \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} \]

Это явный случай параллельных линий, т.к. уравнения имеют одинаковые коэффициенты при \(x\) и \(y\), но разные свободные члены. Это значит, что прямые не пересекаются.

Заключение: Система не имеет решений.

3. Система уравнений

c)

\[ \begin{cases} 4x - 3y = 8, \\ -2x + 1.5y = -4 \end{cases} \]

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Вместо \(-2x + 1.5y = -4\) напишем:

\[ -4x + 3y = -8 \]

Шаг 2: Сравним

Теперь система:

\[ \begin{cases} 4x - 3y = 8, \\ -4x + 3y = -8 \end{cases} \]

Это уравнения противоположные, что значит, что они представляют одну и ту же прямую.

Заключение: Система имеет бесконечно много решений.

Таким образом, ответы следующие:

• а) Одно решение
• b) Нет решений
• c) Бесконечно много решений