Решение

Давайте рассмотрим решение задачи №1078 о наличии решений у систем уравнений. ### 1. Система уравнений #### а) \[ \begin{cases} 4y - x = 12, \\ 3y - 1.5x = 9 \end{cases} \] **Шаг 1: Упростим второе уравнение** Вместо \(3y - 1.5x = 9\) напишем: \[ 6y - 3x = 18 \] **Шаг 2: Приведем первое уравнение к схожему виду** Умножим первое уравнение на 2: \[ 8y - 2x = 24 \] **Шаг 3: Сравним коэффиценты** Теперь система: \[ \begin{cases} 8y - 2x = 24, \\ 6y - 3x = 18 \end{cases} \] Уравнения пропорциональны, что говорит о том, что они могут представлять одну и ту же прямую. Тем не менее, они не идентичны, так как коэффициенты перед \(y\) и \(x\) не находятся в одинаковой пропорции для одинаковых свободных членов. Система будет иметь бесконечно много решений, если она представляет одну и ту же прямую, но в данном случае это не так. **Заключение:** Система имеет одно решение. ### 2. Система уравнений #### b) \[ \begin{cases} 1.5x - y = 1, \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} \] **Шаг 1: Упростим первое уравнение** Вместо \(1.5x - y = 1\) напишем: \[ 3x - 2y = 2 \] **Шаг 2: Сравним** Теперь система: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 2, \\ 3x - 2y = 8 \end{cases} \] Это явный случай параллельных линий, т.к. уравнения имеют одинаковые коэффициенты при \(x\) и \(y\), но разные свободные члены. Это значит, что прямые не пересекаются. **Заключение:** Система не имеет решений. ### 3. Система уравнений #### c) \[ \begin{cases} 4x - 3y = 8, \\ -2x + 1.5y = -4 \end{cases} \] **Шаг 1: Упростим первое уравнение** Вместо \(-2x + 1.5y = -4\) напишем: \[ -4x + 3y = -8 \] **Шаг 2: Сравним** Теперь система: \[ \begin{cases} 4x - 3y = 8, \\ -4x + 3y = -8 \end{cases} \] Это уравнения противоположные, что значит, что они представляют одну и ту же прямую. **Заключение:** Система имеет бесконечно много решений. Таким образом, ответы следующие: - а) Одно решение - b) Нет решений - c) Бесконечно много решений