В сосуд с водой, не касаясь дна и стенок, опустили стальной цилиндр. Изменится ли давление воды на дно сосуда? Почему?

Да, давление воды на дно сосуда изменится. Давление в жидкости возникает за счет ее веса и глубины погружения. Когда цилиндр опускается в воду, он создает дополнительный объем, который приводит к увеличению веса воды, а следовательно, и давления на дно сосуда.