Найти площади заштрихованных фигур

Привет! Давай разберемся вместе с этой задачей.

Сначала посмотрим на картинку. Мы видим график функции \( y = x^2 \), и нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры, которая находится между графиком функции, осью \( x \) и прямыми \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Для нахождения этой площади мы можем использовать определенный интеграл, поскольку площадь под кривой \( y = f(x) \) между \( a \) и \( b \) равна интегралу от \( a \) до \( b \) от функции \( f(x) \).

В этом случае, чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, нам нужно взять интеграл от функции \( x^2 \) в пределах от 1 до 2. В формальной записи это выглядит так:

\[ S = \int_{1}^{2} x^2 dx \]

Теперь давай найдем этот интеграл. Когда мы интегрируем \( x^2 \), мы получаем \( \frac{x^3}{3} \). Чтобы вычислить определенный интеграл, нам нужно подставить верхний и нижний пределы, а затем вычесть.

Вычислим это:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

Значит, площадь заштрихованной фигу