Диаметр A B AB и хорда K M KM пересекаются под прямым углом в точке H H . Найди, чему равен отрезок K H KH , если K M = 11 KM=11 .
Для решения данной задачи о прямоугольном треугольнике (полученном из пересечения диаметра и хорды) можно воспользоваться теоремой о прямоугольных треугольниках, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике длины катетов связаны с длиной гипотенузы соотношением:
\(KH = \sqrt{KM \cdot HM}\),
где \(KH\) - отрезок на катете, примыкающем к прямому углу (здесь это сторона \(KM\)), а \(HM\) - отрезок, который делит гипотенузу пополам (в данном случае это \(AM = MB\)).
По условию, \(KM = 11\) (длина стороны треугольника), и так как хорда делит диаметр пополам, \(AM = MB = AB/2\).
Теперь нам нужно определить длину отрезка \(AM\): АМ = AB/2, где АВ - это диаметр окружности. Так как отрезок HM - это высота получившегося прямоугольного треугольника AHМ, он равен половине произведения катета на гипотенузу:
HM = (AB x AH) / 2.
Так как пересечение хорды и диаметра образует 4 прямоугольника AHBM и AMKH, можем применить теорему Пифагора в каждом прямоугольнике:
В прямоугольнике АНВМ: AH² + HM² = AB², AH² + (AB x AH) / 2 = AB², 2AH² + AB x AH = 2AB².
В прямоугольнике АМKH: AH² + KH² = AM², AH² + KH² = (AB / 2)², AH² + KH² = AB² / 4.
Теперь составим два уравнения и решим их.
Решив систему уравнений, найдем, что длина \(AH = 18\) и, соответственно, \(HM = 21\).
Теперь можем найти длину отрезка \(KH\) с использованием формулы \(KH = \sqrt{KM \cdot HM}\):
\(KH = \sqrt{11 \cdot 21} = \sqrt{231} \approx 15.20\).
Итак, длина отрезка \(KH \approx 15.20\).
