f(x)=x³+8x²-7x+6cos4x f(x)-? F(x)-?
Дано: \( f(x) = x^3 + 8x^2 - 7x + 6\cos(4x) \)
Вычисление производной функции f(x):
- Цель: Понять.
Прежде чем найти \( F(x) \), вычислим производную функции \( f(x) \).
\( f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 + 8x^2 - 7x + 6\cos(4x)) \)
Производная суммы равна сумме производных, и производная произведения функций вычисляется по правилу дифференцирования произведения.
\( f'(x) = 3x^2 + 16x - 7 - 24\sin(4x) \)
Интегрирование функции f(x) для нахождения F(x):
- Цель: Понять.
Для нахождения интеграла функции \( f(x) \) \( F(x) \), мы находим обратную операцию производной.
\( F(x) = \int f(x) dx \)
\( F(x) = \int (x^3 + 8x^2 - 7x + 6\cos(4x)) dx \)
Теперь найдем интеграл каждого слагаемого по отдельности.
\( \int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C_1 \) (где \( C_1 \) - постоянная интегрирования)
\( \int 8x^2 dx = \frac{8}{3}x^3 + C_2 \) (где \( C_2 \) - постоянная интегрирования)
\( \int -7x dx = -\frac{7}{2}x^2 + C_3 \) (где \( C_3 \) - постоянная интегрирования)
Чтобы найти интеграл от \( 6\cos(4x) \), мы используем интегралы для косинуса исходя из обратных тригонометрических функций.
\( \int 6\cos(4x) dx = \frac{6}{4}(1/4)\sin(4x) + C_4 = \frac{3}{2}\sin(4x) + C_4 \) (где \( C_4 \) - постоянная интегрирования)
Складывая все интегралы, мы получаем:
\( F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{8}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{3}{2}\sin(4x) + C \), где \( C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \).
Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна \( f'(x) = 3x^2 + 16x - 7 - 24\sin(4x) \), а интеграл функции \( f(x) \) равен \( F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{8}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{3}{2}\sin(4x) + C \), где \( C \) - постоянная интегрирования.
