?

Дана задача с окружностями, где требуется найти радиус большей окружности. Давайте решим её пошагово.

Условие задачи:

• Радиус меньшей окружности (зеленая) равен 4 см.
• Отрезок \( AB = 12 \) см, где \( A \) и \( B \) — точки касания.
• Требуется найти радиус большей окружности (жёлтая).

Решение:

1. Понимание задачи:

   • У нас есть две окружности, которые касаются внешним образом. Это значит, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
   • Центр маленькой окружности обозначим как \( O_1 \), а её радиус как \( r_1 = 4 \) см.
   • Центр большой окружности обозначим как \( O_2 \), а её радиус — \( r_2 \), который нам нужно найти.

2. Свойства касающихся окружностей:

   • Если окружности касаются, то линия, соединяющая их центры, проходит через точки касания, и длина этой линии равна сумме радиусов: \( O_1 O_2 = r_1 + r_2 \).

3. Используем данное расстояние \( AB \):

   • \( AB \) — длина внешней касательной, соединяющей точки касания.
   • Можно выразить расстояние между центрами окружностей \( O_1 O_2 \) через \( AB \) и радиусы окружностей, используя теорему: \[ AB^2 = O_1 O_2^2 - (r_1 - r_2)^2 \]

4. Подставляем данные: \[ AB = 12 \text{ см}, \quad r_1 = 4 \text{ см} \] \[ O_1 O_2 = r_1 + r_2 \] Подставляем в формулу: \[ 12^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 \] \[ 144 = (4 + r_2)^2 - (4 - r_2)^2 \]

5. Раскрываем скобки и упрощаем: \[ (4 + r_2)^2 = 16 + 8r_2 + r_2^2 \] \[ (4 - r_2)^2 = 16 - 8r_2 + r_2^2 \]

6. Разность квадратов: \[ 144 = (16 + 8r_2 + r_2^2) - (16 - 8r_2 + r_2^2) \] \[ 144 = 16r_2 \]

7. Находим \( r_2 \): \[ 16r_2 = 144 \] \[ r_2 = \frac{144}{16} = 9 \]

Итак, радиус большей окружности \( r_2 = 9 \) см.