?

Дана задача с окружностями, где требуется найти радиус большей окружности. Давайте решим её пошагово. **Условие задачи:** - Радиус меньшей окружности (зеленая) равен 4 см. - Отрезок \( AB = 12 \) см, где \( A \) и \( B \) — точки касания. - Требуется найти радиус большей окружности (жёлтая). **Решение:** 1. **Понимание задачи:** - У нас есть две окружности, которые касаются внешним образом. Это значит, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. - Центр маленькой окружности обозначим как \( O_1 \), а её радиус как \( r_1 = 4 \) см. - Центр большой окружности обозначим как \( O_2 \), а её радиус — \( r_2 \), который нам нужно найти. 2. **Свойства касающихся окружностей:** - Если окружности касаются, то линия, соединяющая их центры, проходит через точки касания, и длина этой линии равна сумме радиусов: \( O_1 O_2 = r_1 + r_2 \). 3. **Используем данное расстояние \( AB \):** - \( AB \) — длина внешней касательной, соединяющей точки касания. - Можно выразить расстояние между центрами окружностей \( O_1 O_2 \) через \( AB \) и радиусы окружностей, используя теорему: \[ AB^2 = O_1 O_2^2 - (r_1 - r_2)^2 \] 4. **Подставляем данные:** \[ AB = 12 \text{ см}, \quad r_1 = 4 \text{ см} \] \[ O_1 O_2 = r_1 + r_2 \] Подставляем в формулу: \[ 12^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 \] \[ 144 = (4 + r_2)^2 - (4 - r_2)^2 \] 5. **Раскрываем скобки и упрощаем:** \[ (4 + r_2)^2 = 16 + 8r_2 + r_2^2 \] \[ (4 - r_2)^2 = 16 - 8r_2 + r_2^2 \] 6. **Разность квадратов:** \[ 144 = (16 + 8r_2 + r_2^2) - (16 - 8r_2 + r_2^2) \] \[ 144 = 16r_2 \] 7. **Находим \( r_2 \):** \[ 16r_2 = 144 \] \[ r_2 = \frac{144}{16} = 9 \] Итак, радиус большей окружности \( r_2 = 9 \) см.