A=(3;12) B=(-7;-9) на плоскости , все решения
Цель: Понять
Решение:
Для того чтобы найти все решения, необходимыми являются следующие шаги:
- Найдем расстояние между точками A(3, 12) и B(-7, -9).
- Найдем середину отрезка между точками A и B.
- Найдем уравнение прямой, проходящей через точку середины отрезка и перпендикулярной отрезку AB.
1. Нахождение расстояния между точками:
Используем формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:
Расстояние между двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) равно: \[ AB = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2} \]
Подставляем значения точек A(3, 12) и B(-7, -9): \[ AB = \sqrt{(-7 - 3)^2 + (-9 - 12)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-10)^2 + (-21)^2} \] \[ AB = \sqrt{100 + 441} \] \[ AB = \sqrt{541} \] \[ AB ≈ 23.24 \]
Итак, расстояние между точками A и B составляет примерно 23.24.
2. Нахождение середины отрезка AB:
Координаты середины отрезка с заданными конечными точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) находятся по формулам: \[ x_{mid} = \frac{x₁ + x₂}{2} \] \[ y_{mid} = \frac{y₁ + y₂}{2} \]
Подставляем значения координат точек A и B: \[ x_{mid} = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y_{mid} = \frac{12 + (-9)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты (-2, 1.5).
3. Нахождение уравнения прямой:
Уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (x₀, y₀) и имеющей угловой коэффициент k, задается уравнением: \[ y - y₀ = k(x - x₀) \]
Так как прямая перпендикулярна отрезку AB, то угловой коэффициент k будет равен отрицательной обратной величине углового коэффициента отрезка AB (перпендикулярные прямые имеют противоположные обратные угловые коэффициенты).
Угловой коэффициент прямой AB вычисляется как: \[ k_{AB} = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁} = \frac{-9 - 12}{-7 - 3} = -\frac{21}{10} \]
Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AB, равен: \[ k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{21}{10}} = \frac{10}{21} \]
Теперь мы используем координаты середины отрезка и найденный угловой коэффициент, чтобы выразить уравнение искомой прямой: \[ y - 1.5 = \frac{10}{21}(x + 2) \]
Это уравнение прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной отрезку AB.
Таким образом, все решения данной задачи включают нахождение расстояния между точками, середины отрезка и уравнения прямой, удовлетворяющей указанным условиям.
