Сторона � � AB равнобедренного треугольника � � � AOB касается окружности с центром � O в точке � M. Найди радиус окружности, если ∠ � � � = 12 0 ∘ ∠AOB=120 ∘ и � � = � � = 26…

Дано:

• Стороны \( OA = OB = 26 \) см
• \(\angle AOB = 120^\circ\)

Поскольку треугольник \( \triangle AOB \) равнобедренный, то \( OA = OB \). Также, касательная к окружности из точки касания \( M \) равна радиусу окружности. Пусть радиус окружности равен \( r \) (в сантиметрах).

Так как стороны треугольника при вершине \( O \) равны, углы \( \angle OAM \) и \( \angle OBM \) являются равными углами.

Таким образом, мы можем разделить треугольник \( \triangle AOB \) на два равнобедренных треугольника \( \triangle AOM \) и \( \triangle BOM \). В каждом из этих треугольников противоположный угол \( \angle AOB \) делится пополам.

Из того что \( \angle AOB = 120^\circ \), получаем, что \( \angle AOM \) и \( \angle BOM \) равны по \( \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ \).

Используя теперь угол \( 60^\circ \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle AOM \), образованный катетом \( OX \) (где \( X \) - середина стороны \( AB \)) и радиусом окружности \( OM \), мы можем написать:

\[ \sin 60^\circ = \dfrac{r}{26} \] \[ \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{r}{26} \] \[ r = \dfrac{26 \cdot \sqrt{3}}{2} \] \[ r = 13\sqrt{3} \text{ см} \]

Итак, радиус окружности, касающейся стороны \( AB \) равнобедренного треугольника \( \triangle AOB \), равен \( 13\sqrt{3} \) см.