Решить

Давайте решим уравнение:

\[ 9x^2 - 24x + 16 = (x - 2)^2. \]

Сначала раскроем квадрат справа:

\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4. \]

Теперь уравнение примет вид:

\[ 9x^2 - 24x + 16 = x^2 - 4x + 4. \]

Перенесем все члены из правой части уравнения в левую:

\[ 9x^2 - 24x + 16 - x^2 + 4x - 4 = 0. \]

Упростим выражение, объединив подобные члены:

\[ (9x^2 - x^2) + (-24x + 4x) + (16 - 4) = 0, \]

\[ 8x^2 - 20x + 12 = 0. \]

Теперь можно упростить, разделив все уравнение на 4:

\[ 2x^2 - 5x + 3 = 0. \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 3 \).

Подставим значения:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1. \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Найдем их по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2}, \]

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{4}. \]

Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \]

\[ x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1. \]

Таким образом, решения уравнения:

\[ x_1 = \frac{3}{2}, \quad x_2 = 1. \]