Давайте решим уравнение:
[ 9x^2 - 24x + 16 = (x - 2)^2. ]
Сначала раскроем квадрат справа:
[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4. ]
Теперь уравнение примет вид:
[ 9x^2 - 24x + 16 = x^2 - 4x + 4. ]
Перенесем все члены из правой части уравнения в левую:
[ 9x^2 - 24x + 16 - x^2 + 4x - 4 = 0. ]
Упростим выражение, объединив подобные члены:
[ (9x^2 - x^2) + (-24x + 4x) + (16 - 4) = 0, ]
[ 8x^2 - 20x + 12 = 0. ]
Теперь можно упростить, разделив все уравнение на 4:
[ 2x^2 - 5x + 3 = 0. ]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac, ]
где ( a = 2 ), ( b = -5 ), ( c = 3 ).
Подставим значения:
[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1. ]
Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Найдем их по формуле:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]
Подставим значения:
[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2}, ]
[ x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{4}. ]
Теперь найдем корни:
[ x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, ]
[ x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1. ]
Таким образом, решения уравнения:
[ x_1 = \frac{3}{2}, \quad x_2 = 1. ]
