CN - медиана треугольника АСК. Точка D делит CN в отношении 2 : 5, считая от С. Выразите вектор DK через векторы АС и КС.
Давайте рассмотрим данную задачу и найдем выражение для вектора DK через векторы AC и KC.
Обозначим векторы:
- \( \vec{AC} \) - вектор, соединяющий точки A и C.
- \( \vec{CN} \) - медиана треугольника AC, искомая точка N находится посередине отрезка AC.
- \( \vec{CD} \) - вектор, идущий от точки C к точке D.
- \( \vec{CK} \) - вектор, соединяющий точки C и K.
- \( \vec{DK} \) - искомый вектор, соединяющий точки D и K.
По условию, точка D делит CN в отношении 2:5, считая от С. Это означает, что вектор CD можно разделить на две части в отношении 2:5, соответственно изменяя направление на вектор CK: \[ \vec{CD} = \frac{2}{2+5} \vec{CN} + \frac{5}{2+5} \vec{CN} \] \[ \vec{CD} = \frac{2}{7} \vec{CN} + \frac{5}{7} \vec{CN} \] Отсюда получаем, что: \[ \vec{CD} = \frac{2}{7} \vec{CN} \] и \[ \vec{CK} = \frac{5}{7} \vec{CN} \]
Теперь выразим вектор DK через векторы AC и KC: \[ \vec{DK} = \vec{DC} + \vec{CK} \] Заменим \(\vec{DC}\) и \(\vec{CK}\) на выражения, которые мы получили ранее: \[ \vec{DK} = \frac{2}{7} \vec{CN} + \frac{5}{7} \vec{CN} \] Поскольку \(\vec{CN} = \vec{CA} + \vec{AN}\), где \(\vec{AN}\) - это половина вектора \(\vec{CN}\), то: \[ \vec{DK} = \frac{2}{7} (\vec{CA} + \vec{AN}) + \frac{5}{7} (\vec{CA} + \vec{AN}) \] \[ \vec{DK} = \frac{2}{7} \vec{CA} + \frac{2}{7} \vec{AN} + \frac{5}{7} \vec{CA} + \frac{5}{7} \vec{AN} \] \[ \vec{DK} = \left( \frac{2}{7} + \frac{5}{7} \right) \vec{CA} + \left( \frac{2}{7} + \frac{5}{7} \right) \vec{AN} \] \[ \vec{DK} = \frac{7}{7} \vec{CA} + \frac{7}{7} \vec{AN} \] \[ \vec{DK} = \vec{CA} + \vec{AN} \]
Таким образом, выражение для вектора DK через векторы AC и КС равно вектору, который идет от точки C к точке A.
