Петя составляет шестибуквенные слова перестановкой букв слова АВАТАР При этом он избегает слов с двумя подряд одинаковыми буквами. Сколько всего различных слов может составить…

Решение:

Данное задание можно решить методом перестановок. Сначала найдем общее количество шестибуквенных слов, которые можно составить из букв слова "АВАТАР".

1. В слове "АВАТАР" имеется 2 буквы "А" и 1 буква каждой из оставшихся букв ("В", "Т", "Р"). Поэтому общее количество перестановок равно:\[\frac{6!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2} = 360\]

Теперь найдем сколько из этих слов содержат две одинаковые буквы, стоящие рядом.

2. Подсчитаем количество слов, в которых две одинаковые буквы (например, "А") стоят рядом:
   • Рассмотрим данные слова как одну группу (два одинаковых символа и остальные символы).
   • В данном случае имеем 4 буквы: "А", "В", "Т", "Р".
   • Эти буквы можно переставить \(\frac{4!}{2!} = 12\) способами (учитывая две одинаковые буквы "А").
   • Также эти 4 буквы можно разместить в слове за 5 различных позиций (перед первым символом, между первым и вторым и т.д.).
   • Получаем количество слов, где две одинаковые буквы стоят рядом: \(12 \times 5 = 60\) возможных слов.

Итак, общее количество допустимых шестибуквенных слов, которые может составить Петя, равно 360 - 60 = 300 слов.

Таким образом, Петя может составить 300 различных шестибуквенных слов без двух подряд идущих одинаковых букв из слова "АВАТАР".