Петя составляет шестибуквенные слова перестановкой букв слова АВАТАР При этом он избегает слов с двумя подряд одинаковыми буквами. Сколько всего различных слов может составить Петя?

**Решение:** Данное задание можно решить методом перестановок. Сначала найдем общее количество шестибуквенных слов, которые можно составить из букв слова "АВАТАР". 1. В слове "АВАТАР" имеется 2 буквы "А" и 1 буква каждой из оставшихся букв ("В", "Т", "Р"). Поэтому общее количество перестановок равно: $$\frac{6!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2} = 360$$ Теперь найдем сколько из этих слов содержат две одинаковые буквы, стоящие рядом. 2. Подсчитаем количество слов, в которых две одинаковые буквы (например, "А") стоят рядом: - Рассмотрим данные слова как одну группу (два одинаковых символа и остальные символы). - В данном случае имеем 4 буквы: "А", "В", "Т", "Р". - Эти буквы можно переставить $\frac{4!}{2!} = 12$ способами (учитывая две одинаковые буквы "А"). - Также эти 4 буквы можно разместить в слове за 5 различных позиций (перед первым символом, между первым и вторым и т.д.). - Получаем количество слов, где две одинаковые буквы стоят рядом: $12 \times 5 = 60$ возможных слов. Итак, общее количество допустимых шестибуквенных слов, которые может составить Петя, равно 360 - 60 = 300 слов. Таким образом, Петя может составить 300 различных шестибуквенных слов без двух подряд идущих одинаковых букв из слова "АВАТАР".