Для геометрической прогрессии известно, что разность между ее пятым и третьим членами равна 72, а разность между четвёртым и вторым членами равна 36. 1) Определите первый член…
Для геометрической прогрессии известно, что разность между ее пятым и третьим членами равна 72, а разность между четвёртым и вторым членами равна 36. 1) Определите первый член данной геометрической прогрессии. 2) Определите знаменатель данной геометрической прогрессии.
Дано:
Разность между пятым и третьим членами геометрической прогрессии: \( a_5 - a_3 = 72 \)
Разность между четвертым и вторым членами геометрической прогрессии: \( a_4 - a_2 = 36 \)
Общая формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии:
\[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]
- Определение первого члена геометрической прогрессии (\( a_1 \)):
Из условия разности между пятым и третьим членами \( a_5 - a_3 = 72 \), можем записать: \[ a_1 \cdot r^4 - a_1 \cdot r^2 = 72 \] \[ a_1 \cdot (r^4 - r^2) = 72 \] \[ a_1 \cdot r^2 (r^2 - 1) = 72 \]
Из условия разности между четвертым и вторым членами \( a_4 - a_2 = 36 \), аналогично: \[ a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r = 36 \] \[ a_1 \cdot r(r^2 - 1) = 36 \]
Мы имеем систему уравнений: \[ a_1 \cdot r^2 (r^2 - 1) = 72 \] \[ a_1 \cdot r(r^2 - 1) = 36 \]
Решив эту систему уравнений, найдем значения для \( a_1 \) и \( r \), которые удовлетворяют обоим условиям.
- Определение знаменателя геометрической прогрессии (\( r \)): После нахождения \( a_1 \) из пункта 1), можно определить знаменатель геометрической прогрессии, выразив \( r \) из найденного уравнения.
Таким образом, решив данную систему уравнений, мы найдем первый член \( a_1 \) данной геометрической прогрессии, а затем по формуле рекуррентности определим знаменатель \( r \).
