Решение:
Для начала, построим пирамиду и отметим данные:
- Правильная треугольная пирамида D A B C DABC, где сторона основания A B = 2 AB=2 и боковое ребро D C = 5 DC=5.
- На ребре D B DB отмечена точка K KK так, что B K K D = 2 23 KD BK = 23 2 .
Теперь рассмотрим треугольник B D K BDK:
Из условия B K K D = 2 23 KD BK = 23 2 можно заключить, что угол B K C BKC равен 90° (пирамида правильная).
Также, угол B K C BKC равен углу A K C AKC (вертикальные углы), таким образом, угол A K C AKC равен 90°.
Далее, рассмотрим треугольник A K C AKC и прямоугольный треугольник A B K ABK:
Для треугольника A K C AKC:
- Мы знаем, что A K = A C = BC = 2 (основание пирамиды).
Для треугольника A B K ABK:
- По теореме Пифагора: A B 2 = A K 2 + K B 2 AB^2 = AK^2 + KB^2 .
- Подставляем известные значения: 2 2 = 2 + K B 2 2^2 = 2 + KB^2 → K B 2 = 2 4 KB^2 = 2\sqrt{4} → KB = 2 .
Теперь найдем синус угла между плоскостями ( A K C ) (AKC) и ( D B C ) (DBC). Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Найдем нормали к этим плоскостям и угол между ними:
- Нормаль к ( A K C ) (AKC) пропорциональна вектору A C → A K → AC →
K , то есть 2 , 0 , 0 2,0,0 .
- Нормаль к ( D B C ) (DBC) пропорциональна вектору D B → D C → DB →
C , то есть 2 5 , − 2 5 , 0 2\frac{2}{5}, -\frac{2}{5}, 0 .
Теперь найдем скалярное произведение нормалей и угол между ними:
n 1 = 2 , 0 , 0 n_1 = 2, 0, 0
n 2 = 2 5 , − 2 5 , 0 n_2 = 2\frac{2}{5}, -\frac{2}{5}, 0
n 1 ⋅ n 2 = 2 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ ( − 2 5 ) + 0 ⋅ 0 = 4 5 n_1 \cdot n_2 = 2 \cdot 2\frac{2}{5} + 0 \cdot (-\frac{2}{5}) + 0 \cdot 0 = \frac{4}{5}
Синус угла между плоскостями равен:
sin θ = n 1 ⋅ n 2 ‖ n 1 ‖ ⋅ ‖ n 2 ‖ = 4 5 2 2 ⋅ 2 5 = 2 5 sin \theta = \frac{n_1 \cdot n_2}{||n_1|| \cdot ||n_2||} = \frac{\frac{4}{5}}{\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2\frac{2}{5}}} = \frac{2}{5}
Таким образом, синус угла между плоскостями ( A K C ) (AKC) и ( D B C ) (DBC) равен 2/5 .
