Реши задачи

Для решения задач давайте разберём каждую из них по очереди.

Задача 1

Условие: В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) в 4 раза меньше угла \(B\), а угол \(C\) — на \(90^\circ\) меньше угла \(B\). Найдите углы треугольника.

Решение:

1. Обозначим углы:

   • Угол \(B = x\).
   • Угол \(A = \frac{x}{4}\).
   • Угол \(C = x - 90^\circ\).

2. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ A + B + C = 180^\circ \]

3. Подставим выражения углов: \[ \frac{x}{4} + x + (x - 90^\circ) = 180^\circ \]

4. Упростим уравнение: \[ \frac{x}{4} + x + x - 90^\circ = 180^\circ \]

5. Суммируем: \[ \frac{x}{4} + 2x = 180^\circ + 90^\circ \]

6. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x + 8x}{4} = 270^\circ \] \[ \frac{9x}{4} = 270^\circ \]

7. Найдем \(x\): \[ 9x = 1080 \] \[ x = 120^\circ \]

8. Подставляем для нахождения углов:

   • \(B = 120^\circ\)
   • \(A = \frac{120^\circ}{4} = 30^\circ\)
   • \(C = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\)

Ответ: Углы треугольника — \(A = 30^\circ\), \(B = 120^\circ\), \(C = 30^\circ\).

Задача 2

Условие: В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC = 42\) см внешний угол при вершине \(C\) равен \(120^\circ\). Найдите боковые стороны треугольника \(ABC\).

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Внешний угол при вершине \(C\) равен \(120^\circ\).
3. Внутренний угол при вершине \(C\): \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
4. Углы при основании \(A\) и \(B\) равны, \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), значит, каждый угол равен: \[ \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]
5. Треугольник \(ABC\) — равнобедренный и равносторонний (все углы \(60^\circ\)).
6. Все стороны равны, значит, \(AB = BC = AC = 42\) см.

Ответ: Боковые стороны треугольника — 42 см.

Задача 3

Условие: В прямоугольном треугольнике \(ABC\) внешний угол при вершине \(A\) равен \(120^\circ\), \(AB = 5\) см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

Решение:

1. Внешний угол при вершине \(A\) равен \(120^\circ\).
2. Внутренний угол при вершине \(A\): \[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
3. Треугольник — прямоугольный, значит, угол \(B = 90^\circ\).
4. Угол \(C\): \[ 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ \]
5. Треугольник \(ABC\) является треугольником со сторонами \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\).
   • Против угла \(30^\circ\) (сторона \(a = AB\)) — самая короткая сторона, \(5\) см.
   • Соотношение сторон: \(1 : \sqrt{3} : 2\).
   • Гипотенуза: \(2 \times 5 = 10\) см.

Ответ: Длина гипотенузы — 10 см.