Реши задачи

Для решения задач давайте разберём каждую из них по очереди. ### Задача 1 **Условие:** В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) в 4 раза меньше угла \(B\), а угол \(C\) — на \(90^\circ\) меньше угла \(B\). Найдите углы треугольника. **Решение:** 1. Обозначим углы: - Угол \(B = x\). - Угол \(A = \frac{x}{4}\). - Угол \(C = x - 90^\circ\). 2. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ A + B + C = 180^\circ \] 3. Подставим выражения углов: \[ \frac{x}{4} + x + (x - 90^\circ) = 180^\circ \] 4. Упростим уравнение: \[ \frac{x}{4} + x + x - 90^\circ = 180^\circ \] 5. Суммируем: \[ \frac{x}{4} + 2x = 180^\circ + 90^\circ \] 6. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x + 8x}{4} = 270^\circ \] \[ \frac{9x}{4} = 270^\circ \] 7. Найдем \(x\): \[ 9x = 1080 \] \[ x = 120^\circ \] 8. Подставляем для нахождения углов: - \(B = 120^\circ\) - \(A = \frac{120^\circ}{4} = 30^\circ\) - \(C = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\) **Ответ:** Углы треугольника — \(A = 30^\circ\), \(B = 120^\circ\), \(C = 30^\circ\). --- ### Задача 2 **Условие:** В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC = 42\) см внешний угол при вершине \(C\) равен \(120^\circ\). Найдите боковые стороны треугольника \(ABC\). **Решение:** 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Внешний угол при вершине \(C\) равен \(120^\circ\). 3. Внутренний угол при вершине \(C\): \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 4. Углы при основании \(A\) и \(B\) равны, \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), значит, каждый угол равен: \[ \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \] 5. Треугольник \(ABC\) — равнобедренный и равносторонний (все углы \(60^\circ\)). 6. Все стороны равны, значит, \(AB = BC = AC = 42\) см. **Ответ:** Боковые стороны треугольника — 42 см. --- ### Задача 3 **Условие:** В прямоугольном треугольнике \(ABC\) внешний угол при вершине \(A\) равен \(120^\circ\), \(AB = 5\) см. Найдите длину гипотенузы треугольника. **Решение:** 1. Внешний угол при вершине \(A\) равен \(120^\circ\). 2. Внутренний угол при вершине \(A\): \[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] 3. Треугольник — прямоугольный, значит, угол \(B = 90^\circ\). 4. Угол \(C\): \[ 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ \] 5. Треугольник \(ABC\) является треугольником со сторонами \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\). - Против угла \(30^\circ\) (сторона \(a = AB\)) — самая короткая сторона, \(5\) см. - Соотношение сторон: \(1 : \sqrt{3} : 2\). - Гипотенуза: \(2 \times 5 = 10\) см. **Ответ:** Длина гипотенузы — 10 см.