2. Найдите объём и площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол 45°.
Для решения данной задачи воспользуемся формулами для объёма и площади поверхности правильной четырёхугольной пирамиды.
Найдем объём пирамиды: Объём правильной пирамиды можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{osn} \cdot h, \] где \( S_{osn} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.
Найдем площадь полной поверхности пирамиды: Площадь полной поверхности правильной пирамиды можно найти, сложив площадь основания, площадь всех четырех боковых треугольных граней. \[ S_{pp} = S_{osn} + 2 \cdot S_{bok}, \] где \( S_{osn} \) - площадь основания пирамиды, \( S_{bok} \) - площадь боковой грани.
Вычислим данные: У нас дано, что боковое ребро равно 20 см и образует с высотой угол 45°. Поскольку у пирамиды образовано четыре таких треугольника (четыре боковых грани), высота пирамиды равна \( h = 20 \times \sin(45°) \) и площадь боковой грани рассчитывается как \( S_{bok} = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times \cos(45°) \).
Выполним вычисления:
- \( h = 20 \times \sin(45°) \approx 14.14 \) см,
- \( S_{osn} = (20 \times 20) \approx 400 \) кв.см,
- \( S_{bok} = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times \cos(45°) \approx 200 \) кв.см.
Теперь можем перейти к конечным расчетам:
Объём пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times 400 \times 14.14 \approx 1885.33 \, \text{см}^3. \]
Площадь полной поверхности пирамиды: \[ S_{pp} = 400 + 2 \times 200 = 800 \, \text{кв.см}. \]
Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды составляет примерно 1885.33 кубических сантиметров, а площадь полной поверхности равна 800 квадратным сантиметрам.
