Давайте разберём задачу. У нас есть куб ABCDA₁B₁C₁D₁, и нужно найти угол между прямыми AB₁ и ВD₁.
Прежде всего, представим куб в трёхмерной системе координат:
1. **Координаты точек куба:**
- A (0, 0, 0)
- B (1, 0, 0)
- C (1, 1, 0)
- D (0, 1, 0)
- A₁ (0, 0, 1)
- B₁ (1, 0, 1)
- C₁ (1, 1, 1)
- D₁ (0, 1, 1)
2. **Координаты точек для прямых:**
- Прямая AB₁:
- A (0, 0, 0), B₁ (1, 0, 1)
- Вектор AB₁ = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)
- Прямая BD₁:
- B (1, 0, 0), D₁ (0, 1, 1)
- Вектор BD₁ = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)
3. **Угол между двумя векторами:**
Формула для нахождения угла θ между двумя векторами a и b следующая:
\[
\cos \theta = \frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}}
\]
- Скалярное произведение:
\[
a \cdot b = (1, 0, 1) \cdot (-1, 1, 1) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0
\]
- Длина вектора AB₁:
\[
|AB₁| = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}
\]
- Длина вектора BD₁:
\[
|BD₁| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
\]
4. **Вычисление косинуса угла:**
\[
\cos \theta = \frac{0}{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}} = 0
\]
Так как \(\cos \theta = 0\), угол \(\theta = 90^\circ\).
Таким образом, угол между прямыми AB₁ и BD₁ в кубе равен 90 градусов.
