Найдите угол между прямыми

Чтобы найти угол между прямыми \( \text{AB}_1 \) и \( \text{BD}_1 \) в кубе, сделаем следующее: 1. **Понимание задачи и обозначения:** Рассматриваем куб \( \text{ABCD} \) с вершинами \( \text{A} \), \( \text{B} \), \( \text{C} \), \( \text{D} \) на нижнем основании и вершинами \( \text{A}_1 \), \( \text{B}_1 \), \( \text{C}_1 \), \( \text{D}_1 \) на верхнем основании. 2. **Идентификация прямых:** - Прямая \( \text{AB}_1 \) соединяет вершины \( \text{A} \) и \( \text{B}_1 \). - Прямая \( \text{BD}_1 \) соединяет вершины \( \text{B} \) и \( \text{D}_1 \). 3. **Положение прямых:** - \( \text{AB}_1 \) — это диагональ боковой грани \( \text{ABB}_1\text{A}_1 \). - \( \text{BD}_1 \) — это диагональ боковой грани \( \text{BCCD}_1 \). 4. **Расчёт векторов:** Предположим, что куб имеет сторону длиной 1 единицу. Зададим координаты: - \( \text{A} = (0, 0, 0) \) - \( \text{B} = (1, 0, 0) \) - \( \text{B}_1 = (1, 0, 1) \) - \( \text{D}_1 = (0, 1, 1) \) Найдём векторы: - Вектор \( \mathbf{AB}_1 = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1) \) - Вектор \( \mathbf{BD}_1 = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1) \) 5. **Нахождение косинуса угла между векторами:** Косинус угла между векторами \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) вычисляется как: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|} \] Скалярное произведение (dot product): \[ \mathbf{AB}_1 \cdot \mathbf{BD}_1 = (1)(-1) + (0)(1) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0 \] Длины векторов: \[ |\mathbf{AB}_1| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ |\mathbf{BD}_1| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0 \] 6. **Результат:** Косинус угла равен 0, следовательно, угол между векторами \( \text{AB}_1 \) и \( \text{BD}_1 \) составляет 90°. Прямые перпендикулярны друг другу. Таким образом, угол между прямыми \( \text{AB}_1 \) и \( \text{BD}_1 \) равен \( 90^\circ \).