Найти первый член и сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bn), если b2 = 16 и b4 = 144.
Для нахождения первого члена и суммы четырех первых членов геометрической прогрессии с данными значениями b2 и b4 мы можем воспользоваться формулами геометрической прогрессии.
- Нахождение первого члена (b1): Известно, что формула \(b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)}\) справедлива для геометрической прогрессии, где \(b_n\) - n-ый член прогрессии, \(b_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена.
Обозначим b2 = 16 и b4 = 144. Из уравнения \(b_4 = b_1 \cdot r^{(4-1)}\), где b4 = 144: \(144 = b_1 \cdot r^{3}\) ... (1)
А также из уравнения \(b_2 = b_1 \cdot r^{(2-1)}\), где b2 = 16: \(16 = b_1 \cdot r\) ... (2)
Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2) для нахождения первого члена:
Из уравнения (2) выразим \(b_1\):
\(b_1 = \frac{16}{r}\)
Подставим полученное выражение в уравнение (1):
\(\frac{144}{r^{3}} = \frac{16}{r} \cdot r^{3}\)
\(144 = 16r^{2}\)
\(r^{2} = 9\)
\(r = 3\)
Теперь найдем \(b_1\): \(b_1 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}\)
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен \(5\frac{1}{3}\).
- Нахождение суммы четырех первых членов геометрической прогрессии: Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = \frac{b_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}\).
Для нахождения суммы четырех первых членов геометрической прогрессии с первым членом \(b_1 = 5\frac{1}{3}\) и знаменателем \(r = 3\): \(S_4 = \frac{5\frac{1}{3} \cdot (3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{16 \cdot (81 - 1)}{2} = \frac{16 \cdot 80}{2} = 16 \cdot 40 = 640\)
Таким образом, сумма четырех первых членов данной геометрической прогрессии равна 640.
