Для нахождения первого члена и суммы четырех первых членов геометрической прогрессии с данными значениями b2 и b4 мы можем воспользоваться формулами геометрической прогрессии.
- Нахождение первого члена (b1):
Известно, что формула $b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)}$ справедлива для геометрической прогрессии, где $b_n$ - n-ый член прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии, $n$ - номер члена.
Обозначим b2 = 16 и b4 = 144.
Из уравнения $b_4 = b_1 \cdot r^{(4-1)}$, где b4 = 144:
$144 = b_1 \cdot r^{3}$ ... (1)
А также из уравнения $b_2 = b_1 \cdot r^{(2-1)}$, где b2 = 16:
$16 = b_1 \cdot r$ ... (2)
Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2) для нахождения первого члена:
Из уравнения (2) выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{16}{r}$
Подставим полученное выражение в уравнение (1):
$\frac{144}{r^{3}} = \frac{16}{r} \cdot r^{3}$
$144 = 16r^{2}$
$r^{2} = 9$
$r = 3$
Теперь найдем $b_1$:
$b_1 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен $5\frac{1}{3}$.
- Нахождение суммы четырех первых членов геометрической прогрессии:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$.
Для нахождения суммы четырех первых членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 5\frac{1}{3}$ и знаменателем $r = 3$:
$S_4 = \frac{5\frac{1}{3} \cdot (3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{16 \cdot (81 - 1)}{2} = \frac{16 \cdot 80}{2} = 16 \cdot 40 = 640$
Таким образом, сумма четырех первых членов данной геометрической прогрессии равна 640.
