8) Сколько существует таких чисел п, что оба числа п - 42 и п + 21 являются квадратами натуральных чисел?

Цель: Понять

Для решения данной задачи нам нужно найти все такие числа \( p \), при которых и \( p - 42 \) и \( p + 21 \) являются квадратами натуральных чисел.

Представим \( p - 42 = m^2 \) и \( p + 21 = n^2 \), где \( m \) и \( n \) - натуральные числа.

1. Выразим \( p \) из первого уравнения: \( p = m^2 + 42 \)

2. Подставим это значение во второе уравнение: \( m^2 + 42 + 21 = n^2 \) \( m^2 + 63 = n^2 \) \( n^2 - m^2 = 63 \) \( (n - m)(n + m) = 63 \)

3. Разложим 63 на множители, чтобы найти все возможные комбинации \( n \) и \( m \): \( 63 = 1 \times 63 \), \( 3 \times 21 \), \( 7 \times 9 \)

4. Подберем натуральные числа \( n \) и \( m \) для каждой пары множителей:

   1. \( n - m = 1 \), \( n + m = 63 \)
      Решаем систему уравнений и находим \( n = 32 \), \( m = 31 \)
   2. \( n - m = 3 \), \( n + m = 21 \)
      Решаем систему уравнений и находим \( n = 12 \), \( m = 9 \)
   3. \( n - m = 7 \), \( n + m = 9 \)
      Решаем систему уравнений и находим \( n = 8 \), \( m = 1 \)

Таким образом, у нас получаются три набора \( n \) и \( m \): (32, 31), (12, 9), (8, 1).

Далее, найдем соответствующие значения \( p \) для каждой пары \( n \) и \( m \):

1. \( p = 31^2 + 42 = 973 \)
2. \( p = 9^2 + 42 = 111 \)
3. \( p = 1^2 + 42 = 43 \)

Итак, существует три числа \( p \), удовлетворяющих условиям задачи: 973, 111, 43.