решите неравенство методом интервалов: (x+7)(9x²-12x+4)/8x²+2x-1 больше или равно 0
Решение:
Для решения данного неравенства методом интервалов, мы должны сначала найти все корни уравнения выражения в левой части неравенства, чтобы определить интервалы, на которых функция больше или равна нулю.
У нас есть неравенство: \[ \frac{(x+7)(9x^2 - 12x + 4)}{8x^2 + 2x - 1} \geq 0 \]
- Находим корни:
Сначала найдем корни уравнения в числителе: \[ (x+7)(9x^2 - 12x + 4) = 0 \]
Первый корень у нас уже известен: \( x = -7 \). Далее найдем корни квадратного трехчлена: \[ 9x^2 - 12x + 4 = 0 \]
Дискриминант: \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0 \)
Корень для данного уравнения \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \).
Таким образом, у нас есть три корня: \( x_1 = -7 \), \( x_2 = \frac{2}{3} \), и еще один корень из знаменателя, который будет найден позже.
- Определение интервалов:
Теперь разобьем область значений переменной \( x \) на интервалы с помощью найденных корней. Помним, что неравенство сохраняет знак внутри каждого интервала, где функция меняет свое поведение.
Интервалы: \((- \infty, -7)\), \((-7, \frac{2}{3})\), \((\frac{2}{3}, ?)\), где \( ? \) - будущий корень.
- Определение точки разрыва:
Теперь найдем корень уравнения в знаменателе: \[ 8x^2 + 2x - 1 = 0 \]
Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 \)
Корни: \( x_{\pm} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{16} = \frac{-2 \pm 6}{16} \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{1}{4} \)
Таким образом, у нас есть еще два корня: \( x_3 = -\frac{1}{2} \), \( x_4 = \frac{1}{4} \).
Объединим все корни на числовой прямой: \((- \infty, -7), -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, (\frac{2}{3}, ?)\).
- Используем тестовую точку:
Выберем по одной точке из каждого интервала для проверки знаков функции. Мы можем взять, например:
- Для интервала \((- \infty, -7)\): \(x = -8\)
- Для интервала \((-7, -\frac{1}{2})\): \(x = -1\)
- Для интервала \(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\): \(x = 0\)
- Для интервала \((\frac{1}{4}, \frac{2}{3})\): \(x = \frac{1}{2}\)
- Для интервала \((\frac{2}{3}, ?)\): \(x = 1\)
- Проверка знаков:
- Для \(x = -8\): \(\frac{(-8+7)(9(-8)^2 - 12(-8) + 4)}{8(-8)^2 + 2(-8) - 1} = \frac{(-1)(576 - 96 + 4)}{512 - 16 - 1} = \frac{-106}{495} < 0\) Значит, интервал \((- \infty, -7)\) - знак отрицательный.
- Финальный ответ:
Итак, решением неравенства будет: \[ x \in (- \infty, -7) \cup [-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) \cup [\frac{2}{3}, +\infty) \]
