В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, точка касания вписанной окружности делит сторону BC на отрезки длиной 4 и 1, считая от вершины B. Найдите периметр треугольника.

Дано:
Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC
Точка касания вписанной окружности делит сторону BC на отрезки длиной 4 и 1

Обозначим:
Пусть BD = 4 и DC = 1
Пусть точка касания окружности с стороной BC обозначается как E

Так как треугольник ABC — равнобедренный, то BD = DC.
Точка касания вписанной окружности с лежащей на стороне BC делит эту сторону пропорционально ее длине. То есть BD/DC = BE/EC.

Из данного условия следует, что:
4/1 = BE/EC
Следовательно, BE = 4x, EC = x, где x — коэффициент пропорциональности.

Так как точка касания окружности с треугольником образует касательную, то отрезок BE является биссектрисой угла ABC.
Из утверждения о биссектрисе следует, что AC/BC = AE/BE.

Подставляем известные значения:
AC/BC = AE/(4x)
AC = BC * (AE/(4x))
AC = BC * (AE/BE)
AC = BC * (1/(1 + 4))
AC = BC * (1/5)

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = BC.
Следовательно, мы нашли, что BC = 5 и AC = 5.

Теперь для нахождения периметра треугольника сложим все его стороны:
Периметр = AB + BC + AC = AB + 5 + 5 = AB + 10

Так как треугольник ABC — равнобедренный, то BD = DC = 4. Также, BE = 4x = 4, следовательно, x = 1.
Треугольник BAE также является равнобедренным, поскольку BE — биссектриса. Значит, AE = AB.

Следовательно, AB = AE = x = 1.

Теперь можем найти периметр треугольника:
Периметр = AB + BC + AC = 1 + 5 + 5 = 11

Итак, периметр треугольника ABC равен 11.