найти площадь фигуры ограниченной линиями: у=-х'2+3, у=2х
Для нахождения площади фигуры ограниченной линиями \( y = -x^2 + 3 \) и \( y = 2x \), необходимо найти точки их пересечения, которые определяют границы фигуры.
Нахождение точек пересечения:
Поскольку \( y = -x^2 + 3 \) и \( y = 2x \), то мы можем приравнять их: \[ -x^2 + 3 = 2x \]
Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение, используя метод раскладывания на множители или дискриминант: \[ x^2 + 3x - x - 3 = 0 \] \[ x(x+3) - 1(x+3) = 0 \] \[ (x-1)(x+3) = 0 \]
Отсюда получаем \( x = 1 \) и \( x = -3 \).
Подставим значения \( x \) в уравнения, чтобы найти соответствующие значения \( y \):
При \( x = 1 \): \( y = -1^2 + 3 = -2 \)
При \( x = -3 \): \( y = -(-3)^2 + 3 = -6 + 3 = -3 \)
Таким образом, точки пересечения составляют пары (1, -2) и (-3, -3).
Построение графика и определение площади:
Построим графики уравнений \( y = -x^2 + 3 \) и \( y = 2x \) на плоскости. Фигура ограничена этими двумя кривыми и осью X. Площадь фигуры может быть найдена через интегрирование функций в заданных пределах.
Вычисление площади:
Для определения площади между двумя кривыми следует взять разность интегралов этих функций на отрезке [a, b], где a и b – координаты точек пересечения кривых.
Площадь \( S \) между кривыми на отрезке [a, b] выражается как: \[ S = \int_{a}^{b} (y_1 - y_2) dx \]
Где \[ y_1 = -x^2 + 3 \] и \[ y_2 = 2x \]
Подставляем точки пересечения: \[ S = \int_{-3}^{1} ((-x^2 + 3) - 2x) dx \]
Вычисляем данный определенный интеграл, чтобы получить площадь фигуры между кривыми.
Это подход поможет вам понять, как найти и вычислить площадь фигуры ограниченной данными двумя кривыми.
