x²-7x+10<0
Дано неравенство: \( x^2 - 7x + 10 < 0 \).
Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем воспользоваться методом знаков. Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x + 10 = 0 \), чтобы выявить интервалы, на которых неравенство будет выполняться.
Найдем корни квадратного уравнения:
Находим дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4*1*10 = 49 - 40 = 9 \).
Так как дискриминант \( D > 0 \), у уравнения есть два различных корня: \( x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2*1} = \frac{7 \pm 3}{2} \).
Получаем корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 2 \).
Теперь построим знаки функции \( f(x) = x^2 - 7x + 10 \) и определим интервалы, на которых функция будет положительной или отрицательной. В этих интервалах и будут корни неравенства.
Рассмотрим интервал между \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 2 \):
- Подставляем любое значение из интервала (например, \( x = 3 \)) в исходное неравенство: \( 3^2 - 7*3 + 10 = 9 - 21 + 10 = -2 < 0 \).
Значит, неравенство выполняется на этом интервале.
Таким образом, корни уравнения \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) равны 2 и 5, и неравенство \( x^2 - 7x + 10 < 0 \) выполняется на интервале \( 2 < x < 5 \).
