3. В графе 5 вершин, каждая из которых имеет индекс 4. Сколько у него ребер? 4. В графе 45 рёбер, а каждая вершина имеет индекс 9. Сколько у него вершин? 5. В графе 12 рёбер, а каждая вершина имеет индекс 3. Сколько у него вершин? 6. В классе 15 компьютеров. Можно ли их соединить друг с другом так, чтобы каждый компьютер был соединен ровно с пятью другими? 7. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля - Меркурий, Плутон - Венера, Земля - Плутон, Плутон - Меркурий, Меркурий - Венера, Уран - Нептун, Нептун - Сатурн, Сатурн - Юпитер, Юпитер - Марс и Марс - Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса? В ответе запишите 1, если это возможно, или 0, если невозможно.

1. **Решение:** 3. В графе с 5 вершинами, где каждая вершина имеет индекс 4, мы имеем дело с полным графом. В полном графе количество рёбер рассчитывается по формуле: \[ \text{Количество рёбер} = \frac{n \cdot (n-1)}{2} \] где \( n \) - число вершин. Подставим \( n = 5 \) в данную формулу: \[ \text{Количество рёбер} = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] Таким образом, в графе с 5 вершинами, каждая из которых имеет индекс 4, всего 10 рёбер. 4. В графе с 45 рёбрами и каждая вершина имеет индекс 9, также рассматривается полный граф. Нам известно, что количество вершин в полном графе соответствует индексу каждой вершины. Зная формулу для количества рёбер в полном графе, мы можем воспользоваться ей для нахождения количества вершин: \[ \text{Количество вершин} = n \] где \( n \) - индекс каждой вершины. В данном случае, индекс равен 9, поэтому количество вершин в графе будет равно 9. 5. По аналогии с предыдущей задачей, в графе с 12 рёбрами и каждая вершина имеет индекс 3, также рассматривается полный граф. Используем формулу для количества вершин: \[ \text{Количество вершин} = n \] где \( n \) - индекс каждой вершины. В данном случае, индекс равен 3, поэтому количество вершин в графе будет равно 3. 6. В классе 15 компьютеров. Чтобы каждый компьютер был соединен ровно с пятью другими, необходимо каждому компьютеру иметь 5 соединений. Общее количество соединений в системе из \( n \) компьютеров соединенных друг с другом рассчитывается по формуле: \[ \text{Общее количество соединений} = \frac{n \cdot 5}{2} \] В данном случае \( n = 15 \): \[ \text{Общее количество соединений} = \frac{15 \cdot 5}{2} = \frac{75}{2} = 37.5 \] Так как количество соединений должно быть целым числом, то нельзя соединить 15 компьютеров так, чтобы каждый был соединен ровно с пятью другими. 7. Для определения возможности достижения с Земли до Марса через указанные маршруты необходимо построить соответствующий граф. По указанным маршрутам составляем граф, где вершины - планеты, а рёбра - маршруты между ними. Поиск пути от Земли до Марса позволяет выяснить возможность достижения. Так как есть путь от Земли до Марса по следующим маршрутам: Земля - Меркурий - Венера - Юпитер - Марс, ответ: 1 (возможно).