.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберём каждое из утверждений:

1. Любой ромб, в котором диагонали равны, является квадратом.

   • Ромб — это четырёхугольник, все стороны которого равны.
   • Если диагонали ромба равны, то этот ромб приобретает свойства квадрата, так как углы становятся прямыми.
   • Следовательно, это утверждение верно.

2. Длина средней линии треугольника равна среднему арифметическому длин сторон этого треугольника.

   • Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
   • Длина средней линии не равна среднему арифметическому длин сторон треугольника; она равна половине длины стороны, параллельной средней линии.
   • Это утверждение неверно.

3. В любом треугольнике точка пересечения медиан является центром вписанной в этот треугольник окружности.

   • Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.
   • Точка пересечения медиан, также известная как центроид, не является центром вписанной окружности. Центр вписанной окружности находится в инцентре, где пересекаются биссектрисы.
   • Это утверждение неверно.

Итак, из всех трёх утверждений верным является первое.