помоги решить

Давайте разберёмся с каждой частью задачи.

Часть а: Решите уравнение

Уравнение: \[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \]

1. Найдем общий знаменатель:

   \[ 2 \cos x - \sqrt{3} \neq 0 \]

   \[ 2 \cos x = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

   Это происходит при \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

2. Числитель равен нулю:

   \[ \log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0 \]

   Обозначим \(y = \log_2(\sin x)\). Тогда получаем:

   \[ y^2 + y = 0 \]

   \[ y(y + 1) = 0 \]

   Решения: \(y = 0\) или \(y = -1\).

   • Для \(y = 0\):

     \[ \log_2(\sin x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 1 \]

     \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

   • Для \(y = -1\):

     \[ \log_2(\sin x) = -1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2} \]

     \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Часть б: Найдите все корни в промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\)

1. При \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\):

   В данном промежутке \(x = \frac{\pi}{2}\).

2. При \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\):

   В данном промежутке сюда подходит \(x = \frac{13\pi}{6}\).

3. При \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\):

   В данном промежутке сюда подходит \(x = \frac{17\pi}{6}\).

Итог

Корни в указанном промежутке:

\[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} \]