Помоги решить

Давайте разберёмся с каждой частью задачи. ### Часть а: Решите уравнение Уравнение: \[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \] 1. **Найдем общий знаменатель:** \[ 2 \cos x - \sqrt{3} \neq 0 \] \[ 2 \cos x = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Это происходит при \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). 2. **Числитель равен нулю:** \[ \log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0 \] Обозначим \(y = \log_2(\sin x)\). Тогда получаем: \[ y^2 + y = 0 \] \[ y(y + 1) = 0 \] Решения: \(y = 0\) или \(y = -1\). - Для \(y = 0\): \[ \log_2(\sin x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 1 \] \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] - Для \(y = -1\): \[ \log_2(\sin x) = -1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] ### Часть б: Найдите все корни в промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\) 1. **При \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\):** В данном промежутке \(x = \frac{\pi}{2}\). 2. **При \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\):** В данном промежутке сюда подходит \(x = \frac{13\pi}{6}\). 3. **При \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\):** В данном промежутке сюда подходит \(x = \frac{17\pi}{6}\). ### Итог Корни в указанном промежутке: \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} \]