помоги решить

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Задание 1a

Уравнение:

\[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \]

Чтобы дробь была равной нулю, числитель должен быть равен нулю. Получаем уравнение:

\[ \log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0 \]

Обозначим \( y = \log_2(\sin x) \). Тогда уравнение перепишется как:

\[ y^2 + y = 0 \]

Решим это уравнение. Вынесем \( y \) за скобки:

\[ y(y + 1) = 0 \]

Отсюда \( y = 0 \) или \( y = -1 \).

Возвращаемся к \( \log_2(\sin x) = y \):

1. \( \log_2(\sin x) = 0 \) \(\Rightarrow \sin x = 1\).
2. \( \log_2(\sin x) = -1 \) \(\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}\).

Теперь найдем \( x \) для каждого случая.

Решения:

1. \(\sin x = 1\)

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. \(\sin x = \frac{1}{2}\)

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Задание 1b

Найдем все корни, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\).

1. \(\mathbf{x = \frac{\pi}{2}}\): Подходит, так как входит в промежуток.

2. \(\mathbf{x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n}\):

   Для \( n = 0 \), \( x = \frac{\pi}{6} \), не входит в промежуток.

   Для \( n = 1 \), \( x = \frac{13\pi}{6} \), входит в промежуток.

3. \(\mathbf{x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n}\):

   Для \( n = 0 \), \( x = \frac{5\pi}{6} \), входит в промежуток.

   Для \( n = 1 \), \( x = \frac{17\pi}{6} \), входит в промежуток.

Ответ:

Корни, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\):

\[ x = \frac{\pi}{2}, \, \frac{5\pi}{6}, \, \frac{13\pi}{6}, \, \frac{17\pi}{6} \]