Помоги решить

Давайте решим задачу по частям: ### a) Решите уравнение \[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \] 1. **Знаменатель не должен равняться нулю:** \[ 2 \cos x - \sqrt{3} \neq 0 \implies \cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \] Косинус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Таким образом, исключаем эти значения. 2. **Числитель равен нулю:** \[ \log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x) = 0 \] Пусть \(y = \log_2(\sin x)\). Тогда уравнение становится: \[ y^2 + y = 0 \] \[ y(y + 1) = 0 \] Решаем: \[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1 \] Для \(y = 0\): \[ \log_2(\sin x) = 0 \implies \sin x = 2^0 = 1 \] \(\sin x = 1\) при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\). Для \(y = -1\): \[ \log_2(\sin x) = -1 \implies \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \] \(\sin x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\). ### б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\) 1. **Рассмотрим \(\sin x = 1\):** \[ x = \frac{\pi}{2} \] 2. **Рассмотрим \(\sin x = \frac{1}{2}\):** \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \] Из них в указанном промежутке: \[ x = \frac{5\pi}{6} \] 3. **Условие \(\cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}\) исключает \(\frac{\pi}{6}\), но оно не входит в наш промежуток.** Таким образом, корни в \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\): \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \]