Высота равностороннего треугольника равна 2\/3 (см. рис. 158). Найдите его периметр.

Решение:

Дано, что высота равностороннего треугольника равна 2/3, и в равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Пусть длина стороны треугольника равна \(a\).

Шаг 1:
Рассмотрим равносторонний треугольник (см. рис. 158) и обозначим его высоту \(h\) и длину стороны \(a\).

Зная, что высота делит равносторонний треугольник на два равнобедренных треугольника, можем построить высоту \(h = 2/3\). Таким образом, каждый из получившихся треугольников будет прямоугольным треугольником с гипотенузой \(a\) (стороной равностороннего треугольника) и катетом \(2/3\).

Шаг 2:
Используем теорему Пифагора для нахождения длины половины стороны \(a\), обозначим ее как \(x\):

\(x^2 + (2/3)^2 = a^2\)

По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

\(x^2 + 4/9 = a^2\)

Шаг 3:
Так как треугольник равносторонний, то \(a = 3x\).
Подставив это значение в уравнение, получим:

\(x^2 + 4/9 = (3x)^2\)
\(x^2 + 4/9 = 9x^2\)

Шаг 4:
Решим уравнение, чтобы найти значение \(x\):

\(8x^2 = 4/9\)
\(x^2 = 1/36\)
\(x = 1/6\)

Шаг 5:
Теперь найдем периметр равностороннего треугольника. Поскольку треугольник имеет три одинаковые стороны, периметр равен:

\(P = 3a = 3 \cdot (3 \cdot 1/6) = 3 \cdot 1/2 = 3/2\)

Ответ:
Периметр данного равностороннего треугольника равен \(3/2\) см.