В треугольнике  MNK известны длины сторон:  M N = 9 MN=9,  M K = 27 MK=27. Точка  O − O − центр окружности, описанной около треугольника  M N K MNK. Прямая  N P NP, перпендикулярная прямой  M O MO, пересекает сторону  M K MK в точке  P P. Найди K P KP.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о центре окружности, описанной вокруг треугольника, и свойствах перпендикуляра. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно. 1. Проведем перпендикуляр из точки \( O \) к стороне \( MK \) и обозначим точку пересечения с \( MK \) как \( P \). 2. Поскольку точка \( O \) - центр окружности, описанной вокруг треугольника \( MNK \), то отрезки \( MO \), \( NO \) и \( KO \) - радиусы этой окружности, следовательно, они равны. 3. Так как отрезок \( NP \) - перпендикуляр к стороне \( MO \) и отрезку \( NP \), значит, треугольники \( MNO \) и \( PNO \) подобны (по признаку углового подобия). 4. В прямоугольном треугольнике \( MNO \), длины сторон равны: \( MN = 9 \), \( MO = NO = R \), где \( R \) - радиус описанной окружности. 5. По теореме Пифагора в треугольнике \( MNO \): \[ MO^2 + MN^2 = MN^2 \] \[ R^2 + 9^2 = 9^2 \] \[ R^2 = 81 - 27 \] \[ R^2 = 54 \] 6. Таким образом, \( R = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \). 7. Теперь рассмотрим треугольник \( PNO \). Мы знаем, что у него \( NO = R = 3\sqrt{6} \), а также \( NP = KP \) (равные радиусы описанной окружности). 8. Применим теорему Пифагора в треугольнике \( PNO \): \[ NP^2 = NO^2 + PO^2 \] \[ KP^2 = (3\sqrt{6})^2 + PO^2 \] \[ KP^2 = 54 + PO^2 \] 9. Так как \( PO \) - высота треугольника \( KPO \), то \( POK \) - прямоугольный треугольник. 10. Поскольку в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, применим теорему Пифагора в треугольнике \( POK \): \[ PO^2 = MP^2 - MO^2 \] \[ PO^2 = MP^2 - R^2 \] 11. Наконец, найдем \( KP \): \[ KP^2 = 54 + MP^2 - R^2 \] \[ KP^2 = 54 + (MK - KP)^2 - 54 \] \[ KP^2 = MK^2 - 2 \cdot MK \cdot KP + KP^2 \] \[ 0 = MK^2 - 2 \cdot MK \cdot KP \] \[ KP = \frac{MK^2}{2 \cdot MK} = \frac{27^2}{2 \cdot 27} = \frac{729}{54} = 13.5 \] Итак, \( KP = 13.5 \).