2sin²x+3cosx=0
Для решения уравнения \( 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 \) используем тригонометрические тождества.
Перепишем уравнение в терминах синуса и косинуса: \[ 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 \] \[ 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0 \] \[ 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0 \]
Заменим \( \cos(x) \) на \( t \) для удобства: \[ 2 - 2t^2 + 3t = 0 \] Это уравнение квадратное относительно \( t \).
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \[ -2t^2 + 3t + 2 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 9 + 16 = 25 \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня: \[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot (-2)} \] \[ t = \frac{-3 \pm 5}{-4} \]
Найдем значения \( t \): \[ t_1 = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \] \[ t_2 = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2 \]
Теперь заменим обратно переменную \( t \) на \( \cos(x) \): \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \] или \( \cos(x) = 2 \)
Для углов в первой четверти находим \( x \), удовлетворяющие \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \]
Для углов в первой четверти находим \( x \), удовлетворяющие \( \cos(x) = 2 \): Участи \( \cos(x) \) ограничен от -1 до 1, по этому уравнение \( \cos(x) = 2 \) не имеет решений.
Таким образом, решения исходного уравнения \( 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 \) в пределах первой четверти можно представить в виде \( x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \).
