Найдите tg 2α , если cosα 2 √6 и <3π <α <2π

Для решения данной задачи воспользуемся связями между тригонометрическими функциями второго аргумента двойного угла:

• \( \tan{2\alpha} = \frac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)

Поскольку нам предоставлена информация о косинусе угла \( \alpha \) и дан диапазон угла \( \alpha \), сначала найдем синус угла и определим касательную угла \( \alpha \), а затем воспользуемся указанным выше соотношением.

Итак, у нас дано:
\( \cos{\alpha} = \frac{1}{2} \sqrt{6} \)

Заметим, что угол \( \alpha \) лежит во втором квадранте по условию, где косинус отрицателен, а синус положителен.
\( \sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} = \sqrt{1 - \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{-2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Теперь найдем касательную угла \( \alpha \):
\( \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Теперь, подставляя полученное значение касательной угла в формулу для \( \tan{2\alpha} \):
\( \tan{2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3}{9}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 - 3}{9}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{9}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{9}{3} = 2\sqrt{3} \)

Итак, \( \tan{2\alpha} = 2\sqrt{3} \)