Найдите tg 2α , если cosα 2 √6 и <3π <α <2π

Для решения данной задачи воспользуемся связями между тригонометрическими функциями второго аргумента двойного угла: - \( \tan{2\alpha} = \frac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \) Поскольку нам предоставлена информация о косинусе угла \( \alpha \) и дан диапазон угла \( \alpha \), сначала найдем синус угла и определим касательную угла \( \alpha \), а затем воспользуемся указанным выше соотношением. Итак, у нас дано: \( \cos{\alpha} = \frac{1}{2} \sqrt{6} \) Заметим, что угол \( \alpha \) лежит во втором квадранте по условию, где косинус отрицателен, а синус положителен. \( \sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} = \sqrt{1 - \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{-2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Теперь найдем касательную угла \( \alpha \): \( \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) Теперь, подставляя полученное значение касательной угла в формулу для \( \tan{2\alpha} \): \( \tan{2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3}{9}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 - 3}{9}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{9}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{9}{3} = 2\sqrt{3} \) Итак, \( \tan{2\alpha} = 2\sqrt{3} \)