Для решения данной задачи найдем общее количество способов, которыми первым и последним могут выступить пятиклассники, и общее количество способов провести конкурс.
Пусть:
- $n$ - общее количество участников (в данном случае 10)
- $m$ - количество пятиклассников (в данном случае 3)
Чтобы первым и последним выступали пятиклассники, нужно выбрать 2 участника из 3 пятиклассников и распределить их на первое и последнее места. Остальные участники выступают на оставшихся местах.
Общее количество способов выбрать 2 пятиклассника из 3:
$$C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$$
Общее количество способов распределить оставшихся 8 участников по оставшимся 8 местам:
$$8!$$
Таким образом, общее количество способов, которыми первым и последним могут быть пятилассники:
$$3 \times 8!$$
Теперь найдем общее количество способов провести конкурс, где нет ограничений на первого и последнего участников:
$$10!$$
Итак, искомая вероятность того, что первым и последним будут выступать пятиклассники, равна отношению количества способов, когда пятиклассники занимают первое и последнее места, ко всем возможным способам провести конкурс:
$$P = \frac{3 \times 8!}{10!} = \frac{3 \cdot 8!}{10!} = \frac{3 \cdot 8!}{10 \cdot 9 \cdot 8!} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$$
Таким образом, вероятность того, что первым и последним будут выступать пятиклассники, составляет $\frac{1}{30}$ или приблизительно 0.0333.
