Для тела, движущегося от земли по закону ( s = A(1+c)^{2/3} ), где ( s ) - расстояние от земли в момент времени ( t ), ( A ) - постоянная, ( c ) - коэффициент, закон изменения скорости можно найти, взяв первую производную ( v = \frac{ds}{dt} ).
- Найдем закон изменения скорости:
Исходная формула для ( s ) дана, но перед тем как выполнять дифференцирование, упростим формулу и найдем первую производную ( v = \frac{ds}{dt} ).
Нам дано:
[ s = A(1+c)^{2/3} ]
1.1 Найдем первую производную:
[ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} [A(1+c)^{2/3}] ]
Для нахождения производной сложной функции ((1+c)^{2/3}) используем правило дифференцирования сложной функции (цепного правила):
[
\frac{d}{dx} [u^n] = nu^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}
]
Здесь ( u = 1+c ) и ( n = \frac{2}{3} ). Тогда:
[
v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} [A(1+c)^{2/3}] = A \cdot \frac{2}{3} (1+c)^{-1/3} \cdot \frac{dc}{dt} = \frac{2A}{3(1+c)^{1/3}} \cdot \frac{dc}{dt}
]
Получили закон изменения скорости в зависимости от изменения коэффициента ( c ) по времени.
- Вычислим ускорение тела:
Чтобы найти ускорение, необходимо найти вторую производную ( a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} ).
2.1 Найдем вторую производную:
Исходя из найденного закона изменения скорости ( v = \frac{2A}{3(1+c)^{1/3}} \cdot \frac{dc}{dt} ), найдем ускорение:
[
a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2A}{3(1+c)^{1/3}} \cdot \frac{dc}{dt} \right)
]
[
a = \frac{d}{dt} \left( \frac{2A}{3(1+c)^{1/3}} \right) \cdot \frac{dc}{dt} + \frac{2A}{3(1+c)^{1/3}} \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{dc}{dt} \right)
]
Здесь нужно продифференцировать (\frac{2A}{3(1+c)^{1/3}}) по времени дополнительно, чтобы найти полное ускорение тела.
- Итак, мы нашли закон изменения скорости и вычислили ускорение тела по данной формуле.
