Реши зада

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Нам дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с прямым углом при \( C \) и угол \( \angle B = 78^\circ \). Известно, что \( BC = 42 \). Нужно найти \( AC \).

Шаг 1: Понимание треугольника

1. Прямоугольный треугольник: \( \triangle ABC \) — прямоугольный, значит, один угол равен \( 90^\circ \). Угол \( \angle C = 90^\circ \).
2. Дано: \( \angle B = 78^\circ \) и \( BC = 42 \).

Шаг 2: Найдите угол \( \angle A \)

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \( 90^\circ \). Поэтому: \[ \angle A = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ \]

Шаг 3: Определение катета \( AC \)

Катет \( AC \) лежит напротив угла \( \angle B \). Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для нахождения этого катета.

\[ \sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

В нашем случае: \[ \sin(78^\circ) = \frac{AC}{42} \]

Отсюда: \[ AC = 42 \cdot \sin(78^\circ) \]

Шаг 4: Подсчеты

Теперь посчитаем значение \( AC \). Используя калькулятор для нахождения \( \sin(78^\circ) \):

\[ \sin(78^\circ) \approx 0.9781 \]

Подставим значение: \[ AC \approx 42 \cdot 0.9781 \approx 41.0682 \]

Ответ:

\( AC \approx 41.07 \)

Это решение выражает длину катета \( AC \) с точностью до двух знаков после запятой.