В парном танцевальном конкурсе 21 участник: восемь пар из школы № 1, шесть из школы № 2 и семь из школы № 3. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что…

Для решения этой задачи мы должны определить общее количество способов, которыми пары из школы № 3 могут занять первое и последнее места в порядке выступлений, и разделить это на общее число всех возможных способов размещения всех пар.

Поскольку порядок выступлений определяется жребием, общее количество способов размещения всех 21 пар можно определить по формуле для нахождения перестановок.
\[ \text{Общее количество способов} = 21! \]

Теперь давайте определим общее количество способов, в которых пары из школы № 3 могут стать первой и последней.
У нас есть 7 пар из школы № 3, и нам нужно выбрать 2 из них для занятия первого и последнего мест.
\[ \text{Количество способов выбрать 2 пары из 7} = C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = 21 \]

После того как мы выбрали две пары из школы № 3 для первой и последней позиции, остальные 19 пар могут быть размещены в оставшихся местах.
\[ \text{Количество способов разместить оставшиеся 19 пар} = 19! \]

Таким образом, общее количество способов, в которых пары из школы № 3 станут первой и последней, равно произведению обоих этих значений. \[ \text{Количество способов для пар из школы № 3} = 21 \times 19! \]

Наконец, вероятность того, что первой и последней выступят пары из школы № 3, будет равна отношению числа способов для пар из школы № 3 ко всем возможным способам. \[ \text{Вероятность} = \frac{21 \times 19!}{21!} \] \[ \text{Вероятность} = \frac{21}{21 \times 20 \times 19 \times ... \times 2 \times 1} \] \[ \text{Вероятность} = \frac{1}{20} \] \[ \text{Вероятность} = \frac{1}{20} \]

Таким образом, вероятность того, что первой и последней будут выступать пары из школы № 3, составляет \( \frac{1}{20} \) или 5%.