Ваня доходит от дома до школы за 30 минут,а его сестра Лена - за 40 минут. Через сколько минут Ваня догонит Лену, если Ваня выйдет из дома через 5 минут после ухода Лены?

**Решение:** Пусть $ t $ - время, через которое Ваня догонит Лену после ухода Лены из дома. Когда Ваня начнет свой путь, Лена уже будет идти $ t - 5 $ минут. За это время: - Ваня пройдет $ t $ минут. - Лена пройдет $ \frac{t(t-5)}{40} $, так как она преодолевает расстояние со скоростью, обратно пропорциональной времени. Так как они догоняют друг друга, то расстояние, которое пройдет Ваня, равно расстоянию, которое пройдет Лена: $$ t = \frac{t(t-5)}{40} $$ Упростим это уравнение: $$ 40t = t^2 - 5t $$ $$ t^2 - 45t = 0 $$ Факторизуем это уравнение: $$ t(t - 45) = 0 $$ Таким образом, $ t = 0 $ или $ t = 45 $. Так как Ваня должен догнать Лену после того, как она ушла из дома, можем сделать вывод, что $ t = 45 $ минут. Поэтому Ваня догонит Лену через 45 минут после ухода Лены из дома.