cos690°sin60°

Для решения данной задачи нам необходимо использовать тригонометрические свойства синуса и косинуса. Для начала, давайте вспомним два важных свойства:

1. \(\sin(90° - \theta) = \cos\theta\)
2. \(\cos(90° - \theta) = \sin\theta\)

Теперь продолжим с решением:

1. Первоначально, заметим, что \(\cos(690°) = \cos(360° + 330°)\). Так как косинус - периодическая функция с периодом \(360°\), то \(\cos(360° + 330°) = \cos(330°)\).
2. Также, у нас есть \(\sin(60°)\), которое мы можем выразить как \(\sin(90° - 30°)\), используя второе вышеперечисленное свойство.

Теперь давайте рассмотрим поочередно каждое из этих утверждений:

1. \(\cos(330°)\):
   Мы можем представить \(330°\) в виде \(360° - 30°\), что дает нам \(\cos(360° - 30°)\). Используя первое свойство, получаем \(\cos(360° - 30°) = \sin(30°)\). Таким образом, \(\cos(330°) = \sin(30°)\).

2. \(\sin(60°)\):
   Как упоминалось ранее, \(\sin(60°) = \sin(90° - 30°)\). Заменим \(30°\) на \(90° - 60°\), получим \(\sin(90° - 60°)\). Используя второе свойство, получаем \(\sin(90° - 60°) = \cos(60°)\).

Итак, после пересчета мы приходим к следующему:

\(\cos(330°) = \sin(30°)\) и \(\sin(60°) = \cos(60°)\).

Таким образом, \(cos(690°)sin(60°) = \sin(30°)\cos(60°)\).

Дальше для упрощения произведения синуса и косинуса, можем воспользоваться формулой:

\(\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\sin(\alpha + \beta) + \dfrac{1}{2}\sin(\alpha - \beta)\).

Подставим \(\alpha = 30°\) и \(\beta = 60°\):

\(\sin(30°)\cos(60°) = \dfrac{1}{2}\sin(30° + 60°) + \dfrac{1}{2}\sin(30° - 60°)\)
\(= \dfrac{1}{2}\sin(90°) + \dfrac{1}{2}\sin(-30°)\)
\(= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sin(-30°)\)
\(= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sin(30°)\)
\(= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\)
\(= \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4}\)
\(= \dfrac{1}{4}\).

Итак, \(cos(690°)sin(60°) = \dfrac{1}{4}\).