Cos690°sin60°

Для решения данной задачи нам необходимо использовать тригонометрические свойства синуса и косинуса. Для начала, давайте вспомним два важных свойства: 1. $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ 2. $\cos(90° - \theta) = \sin\theta$ Теперь продолжим с решением: 1. Первоначально, заметим, что $\cos(690°) = \cos(360° + 330°)$. Так как косинус - периодическая функция с периодом $360°$, то $\cos(360° + 330°) = \cos(330°)$. 2. Также, у нас есть $\sin(60°)$, которое мы можем выразить как $\sin(90° - 30°)$, используя второе вышеперечисленное свойство. Теперь давайте рассмотрим поочередно каждое из этих утверждений: 1. $\cos(330°)$: Мы можем представить $330°$ в виде $360° - 30°$, что дает нам $\cos(360° - 30°)$. Используя первое свойство, получаем $\cos(360° - 30°) = \sin(30°)$. Таким образом, $\cos(330°) = \sin(30°)$. 2. $\sin(60°)$: Как упоминалось ранее, $\sin(60°) = \sin(90° - 30°)$. Заменим $30°$ на $90° - 60°$, получим $\sin(90° - 60°)$. Используя второе свойство, получаем $\sin(90° - 60°) = \cos(60°)$. Итак, после пересчета мы приходим к следующему: $\cos(330°) = \sin(30°)$ и $\sin(60°) = \cos(60°)$. Таким образом, $cos(690°)sin(60°) = \sin(30°)\cos(60°)$. Дальше для упрощения произведения синуса и косинуса, можем воспользоваться формулой: $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\sin(\alpha + \beta) + \dfrac{1}{2}\sin(\alpha - \beta)$. Подставим $\alpha = 30°$ и $\beta = 60°$: $\sin(30°)\cos(60°) = \dfrac{1}{2}\sin(30° + 60°) + \dfrac{1}{2}\sin(30° - 60°)$ $= \dfrac{1}{2}\sin(90°) + \dfrac{1}{2}\sin(-30°)$ $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sin(-30°)$ $= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sin(30°)$ $= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$ $= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}$ $= \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4}$ $= \dfrac{1}{4}$. Итак, $cos(690°)sin(60°) = \dfrac{1}{4}$.