В сосуд со смесью льда и воды наливают горячую воду массой т = 50 г. После установления теплового баланса масса льда в сосуде уменьшается на т₁ = 15,2 г. Удельная теплота…
В сосуд со смесью льда и воды наливают горячую воду массой т = 50 г. После установления теплового баланса масса льда в сосуде уменьшается на т₁ = 15,2 г. Удельная теплота плавления льда А = 330 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг· °С). Известно, что за время проведения эксперимента растает не весь лёд, находящийся в сосуде. 1. Сколько тепла потребовалось на плавление льда? 2. Какова начальная температура / горячей воды? 3. Каков диапазон возможной температуры горячей воды, если абсолютная погрешность измерения массы льда составляет Дт, = 0,2 г, а масса воды измерена с точностью Ет = 1% (то есть может отклоняться на 1% как в большую, так и в меньшую сторону)? Остальные величины известны точно. Решение:
- Для решения данной задачи будем использовать законы сохранения энергии и теплоёмкости веществ.
1. Определение количества тепла, необходимого на плавление льда:
Масса льда, уменьшившаяся на Δm = 15.2 г, соответствует плавлению части льда. Пусть масса плавившегося льда равна m г.
Из закона сохранения энергии: \[ Q_{\text{ввод}} + Q_{\text{плавл}} = 0 \]
Где \( Q_{\text{ввод}} \) - количество тепла, переданное сосуду, и \( Q_{\text{плавл}} \) - тепло на плавление льда.
Количество тепла, переданное сосуду: \[ Q_{\text{ввод}} = c \cdot m_{\text{воды}} \cdot \Delta T \]
Где \( c = 4200 \, \text{Дж/(кг· °С)} \) - удельная теплоёмкость воды, \( m_{\text{воды}} = 50 \, \text{г} \) - масса воды, \( \Delta T \) - изменение температуры воды.
Тепло на плавление льда: \[ Q_{\text{плавл}} = A \cdot \Delta m \]
Где \( A = 330 \, \text{кДж/кг} \) - удельная теплота плавления льда, \( \Delta m = 15.2 \, \text{г} \) - уменьшение массы льда.
Так как \( Q_{\text{ввод}} = -Q_{\text{плавл}} \) (равнодействующие), и \( \Delta T = 0 \) (температура не меняется в процессе плавления), получаем: \[ c \cdot m_{\text{воды}} \cdot \Delta T = -A \cdot \Delta m \]
Подставив данные, получим: \[ 4200 \cdot 0.05 \cdot \Delta T = -330 \cdot 0.0152 \] \[ 210 \cdot \Delta T = -4.996 \] \[ \Delta T = -0.0238 \, \text{°C} \]
Итак, количеству тепла, необходимому на плавление льда, равно \( -4.996 \, \text{Дж} \), что соответствует отрицательному знаку, так как это тепло выделяется при плавлении.
2. Определение начальной температуры горячей воды:
Тепло, необходимое на плавление льда, выделяется из горячей воды. Поэтому можно сказать, что: \[ Q_{\text{нач}} = Q_{\text{ввод}} - Q_{\text{плавл}} \]
Где \( Q_{\text{нач}} \) - общее количество тепла в начале эксперимента.
Поскольку мы уже определили \( Q_{\text{плавл}} \) и \( Q_{\text{ввод}} = c \cdot m_{\text{воды}} \cdot \Delta T \), можем выразить \( Q_{\text{нач}} \).
Подставив все значения, получим: \[ Q_{\text{нач}} = 210 \cdot \Delta T + 330 \cdot 0.0152 \]
\[ Q_{\text{нач}} = -4.996 \, \text{Дж} + 4.996 \, \text{Дж} = 0 \]
Таким образом, общее количество тепла в начале эксперимента равно нулю, и начальная температура горячей воды не изменится.
3. Определение диапазона возможной температуры горячей воды:
Из условия отклонения массы льда (Δm = 0.2 г) и массы воды (m = 50 г) на заданную величину, можем определить диапазон возможной температуры горячей воды:
Для массы льда: \[ m_{\text{льда}} = 50 - 15.2 = 34.8 \, \text{г} \pm 0.2 \, \text{г} \]
Для массы воды: \[ m_{\text{воды}} = 50 \, \text{г} \pm 0.5 \, \text{г} \]
Используя уравнение количества тепла: \[ Q = c \cdot m \cdot \Delta T \]
Можем найти возможные значения для \( \Delta T \) при уровне ошибки изменения массы:
Для массы льда: \[ 4200 \cdot 34.8 \cdot \Delta T = -330 \cdot 0.2 \] \[ 146160 \cdot \Delta T = -66 \] \[ \Delta T = -0.000451 \, \text{°C} \]
Для массы воды: \[ 4200 \cdot 50 \cdot \Delta T = -330 \cdot 0.2 \] \[ 210000 \cdot \Delta T = -66 \] \[ \Delta T = -0.000314 \, \text{°C} \]
Следовательно, диапазон возможной температуры горячей воды составляет от \( -0.0238 \, \text{°C} - 0.000451 \, \text{°C} \) до \( -0.0238 \, \text{°C} + 0.000314 \, \text{°C} \).
